Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über eine Verallgemeinerung des Begriffes „Linienintegral". (A. 11) 5

wenn zur Abkürzung

(10)

öS

bu
A+iy


gesetzt wird.
Gemäß den durch (7) und (8) ausgedrückten Forderungen ist
der Integrationsweg so zu variieren, daß Anfangs- und Endlage
unverändert bleiben, d. h. es müssen die Variationen

(11) b g., b gj, . . . , b g:^ (i= b 3, .m)

sowohl für T=to als für T = t gleich Null gesetzt werden. Somit
verschwinden in (9) sämtliche Grenzausdrücke von selbst, und die
Variation bz reduziert sich auf das in der ersten Zeile stehende
Integral. Dieses aber kann, da die Variationen (11) keinen anderen
als den oben ausgesprochenen Bedingungen unterliegen, nur dann
den Wert Null haben, wenn die sämtlichen Gleichungen

(12)

bu
bg)

d bu
di (bg'

+ -.-+(-!)

d^
dib

(i = ], 9, . .., m)


0

befriedigt sind für alle Punkte des Integrationsweges (1), welchen
wir haben variieren lassen. Dieser Integrationsweg war aber durch-
aus willkürlich gewählt worden; die Gleichungen (12) müssen also
für jedes Funktionensystem (1), d.h. identisch befriedigt sein.
Um zu beweisen, daß die soeben gefundene notwendige Be-
dingung zugleich auch hinreichend ist für die Unabhängigkeit
unseres Integrales vom Integrationswege, benutzen wir ein aus der
Theorie der gewöhnlichen Kurvenintegrale bekanntes Verfahren:
Wir betrachten die beiden zu vergleichenden Kurven (1) und (6)
als Individuen des Kurvenbüschels

g. = <U (T, o.)

" (p T ) --1
OU ^ ^ CC

CU


(i = F 2, . . ., m)

dessen Gleichungen in der Tat für a = a^ in (1), für a = cF in (G)
übergehen, setzen die Funktionen (13) nebst den benötigten Ab-
leitungen in u ein und zeigen, daß das Integral (5) von dem Werte