Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Dynamische Äquivalenzprobleme.

(A. 17)9

Die Differentialgleichung (17 ) läßt sich sofort integrieren. Bei
der Anfangsbedingung s = 0, r = iq wird
(22) U = i (r^ r^) — ^ (r^ — r^). cos
Mithin ist der Fahrstrahl eine periodische Funktion der Bogenlänge,
und zwar mit der Periode 2 na; dies ist gerade der Umfang des
betrachteten Kreises vom Halbmesser a. Wenn s von 0 bis na zu-
nimmt, so geht r beständig wachsend von lq bis i*g; wenn s weiter
von na bis 2na zunimmt, so geht r beständig abnehmend von rg nach
iq usw. Die Kurve liegt daher in dem Ringe zwischen den beiden
Kreisen, die um G mit den Halbmessern und lg beschrieben sind,
dr
und weil - für r = r, und r = r, verschwindet, so werden diese
ds
beiden Kreise abwechselnd von der Kurve berührt.
db
Mit Hilfe der Gleichung (18) für — läßt sich jetzt erschließen,
dr
daß Kurvenbogen zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Berührungs-
punkten mit demselben Kreise kongruent sind und daß sie durch
den dazwischen liegenden Berührungspunkt mit dem anderen Kreise
in symmetrische Hälften geteilt werden. Aus den Gleichungen
(17 ), (18) und (19) erhält man nämlich

(23)

d&\ 2 ^ AU)
.ds/ 4a^H'

Wenn daher die Veränderlichkeit von a auf das Intervall
(24) ^ (rg — rj < a < ^ (rg + rj
/db\ ^
beschränkt wird, so ist stets von Null verschieden, und es
darf daher unbeschadet der Allgemeinheit vorausgesetzt werden, daß
db
— selbst stets positiv ist. Folglich wird das Azimut b mit wach-
sendem s beständig zunehmen, sodaß beim Durchlaufen der Kurve
der Fahrstrahl sich beständig in demselben Sinne herumdreht, und
zwar ist nach (22) und (23) dieses Azimut das Integral einer
periodischen, geraden Funktion von s mit der Periode 2na; hieraus
folgt sofort die Richtigkeit der Behauptung.
Von Wichtigkeit ist auch der Winkel 0, um den b zunimmt,
wenn s von 0 bis na wächst. Nach der Gleichung (18) ist