DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.37322#0014
14(A. 18)
LeoKoenigsberger:
LAGRANGE'sche Gleichung wieder die oben erhaltene Differential-
gleichung zweiter Ordnung.
Allgemeiner gefaßt werden sich die Probleme der verborgenen
Bewegung ebenso wie die unvollständigen Probleme der Frage unter-
ordnen, ob und wann für die Bewegung eines Systems von Punkten,
welche in den Koordinaten ausdrückbaren Zwangsbedingungen unter-
liegen und also LAGRANGE'schen Differentialgleichungen in den Para-
metern genügen, die Veränderungen eines Teiles dieser Parameter
mit der Zeit wieder durch LAGRANGE'sche Gleichungen für ein anderes
kinetisches Potential erster Ordnung beschrieben werden können;
wir werden somit auf die Untersuchung des Eliminationsproblems
einer bestimmten Anzahl von Parametern geführt und auf die Frage,
wann die LAGRANGE'schen Differentialgleichungen, welche unter be-
stimmten Bedingungen das Eliminationsresultat darstellen, wieder
einem kinetischen Potential erster Ordnung zugehören.
Die Beantwortung dieser Frage wird wesentlich andere Methoden
erfordern als die zur Behandlung der verborgenen Bewegung und
der unvollständigen Probleme zur Anwendung gekommenen, welche
die Unabhängigkeit des kinetischen Potentials von einzelnen Para-
metern oder bestimmte Eigenschaften von partikulären Integral-
systemen der Bewegungsgleichungen voraussetzen. Es wird zunächst
genügen, diese Methoden für den Fall der Elimination eines Para-
meters zwischen zwei einem dynamischen Probleme wägbarer Massen
zugehörigen LAGRANGE'schen Gleichungen unter der Voraussetzung zu
erläutern, daß die Zwangsbedingungen die Zeit t nicht explizite ent-
halten, und dann zu der Behandlung des Eliminationsproblems einer
beliebigen Anzahl von Parametern für ein allgemeines LAGRANGE'-
sches Differentialgleichungsystem überzugehen.
Habe das auf zwei freie Parameter reduzierte kinetische Poten-
tial die Form
II = qq (p, q) p'3 -P 2 qq (p, q) p' q' + cp. (p, q) q'* -j- cp (p, q),
für welches die beiden LAGRANGE'schen Gleichungen
bH , d bH _ _bH d bH
bp ^ dtbp' ' bq dtbq'
seien, so wird man unter der Annahme, daß die erstere dieser
Gleichungen die Größen p' und p" micht enthält —- bei den un-
vollständigen Problemen wurden sie gleich Null gesetzt vermöge der
Voraussetzung eines konstanten partikularen Integral wertes von p —
aus dieser Gleichung p als Funktion von q, q', q" ausdrücken und
LeoKoenigsberger:
LAGRANGE'sche Gleichung wieder die oben erhaltene Differential-
gleichung zweiter Ordnung.
Allgemeiner gefaßt werden sich die Probleme der verborgenen
Bewegung ebenso wie die unvollständigen Probleme der Frage unter-
ordnen, ob und wann für die Bewegung eines Systems von Punkten,
welche in den Koordinaten ausdrückbaren Zwangsbedingungen unter-
liegen und also LAGRANGE'schen Differentialgleichungen in den Para-
metern genügen, die Veränderungen eines Teiles dieser Parameter
mit der Zeit wieder durch LAGRANGE'sche Gleichungen für ein anderes
kinetisches Potential erster Ordnung beschrieben werden können;
wir werden somit auf die Untersuchung des Eliminationsproblems
einer bestimmten Anzahl von Parametern geführt und auf die Frage,
wann die LAGRANGE'schen Differentialgleichungen, welche unter be-
stimmten Bedingungen das Eliminationsresultat darstellen, wieder
einem kinetischen Potential erster Ordnung zugehören.
Die Beantwortung dieser Frage wird wesentlich andere Methoden
erfordern als die zur Behandlung der verborgenen Bewegung und
der unvollständigen Probleme zur Anwendung gekommenen, welche
die Unabhängigkeit des kinetischen Potentials von einzelnen Para-
metern oder bestimmte Eigenschaften von partikulären Integral-
systemen der Bewegungsgleichungen voraussetzen. Es wird zunächst
genügen, diese Methoden für den Fall der Elimination eines Para-
meters zwischen zwei einem dynamischen Probleme wägbarer Massen
zugehörigen LAGRANGE'schen Gleichungen unter der Voraussetzung zu
erläutern, daß die Zwangsbedingungen die Zeit t nicht explizite ent-
halten, und dann zu der Behandlung des Eliminationsproblems einer
beliebigen Anzahl von Parametern für ein allgemeines LAGRANGE'-
sches Differentialgleichungsystem überzugehen.
Habe das auf zwei freie Parameter reduzierte kinetische Poten-
tial die Form
II = qq (p, q) p'3 -P 2 qq (p, q) p' q' + cp. (p, q) q'* -j- cp (p, q),
für welches die beiden LAGRANGE'schen Gleichungen
bH , d bH _ _bH d bH
bp ^ dtbp' ' bq dtbq'
seien, so wird man unter der Annahme, daß die erstere dieser
Gleichungen die Größen p' und p" micht enthält —- bei den un-
vollständigen Problemen wurden sie gleich Null gesetzt vermöge der
Voraussetzung eines konstanten partikularen Integral wertes von p —
aus dieser Gleichung p als Funktion von q, q', q" ausdrücken und