Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

10 (A. 7)

K. Bopp:

l
vn — J
V — 1

■ • • Y

reduziert, zu verifizieren, hat man nur zu bedenken, daß im Nenner
i
eine geometrische Reihe steht, deren Quotient yn, deren Anfangs-

died 1 ist, also ist deren Summe

G 1

1

, und man

hat jetzt die Identität

1 t —

xd v

xy — 1
= x d y |x

einerseits,
. x— 1

xy(xy—1), aber
- andererseits oder d (x y) -
d (xy)
= xxdy-j-ydx, wenn man im

Die Differenz des Produktes ist cl(xy)
x y (y — 1) = y — 1
xy (xy — 1)
(x Y- 1
v— 1 V“ ’ y— 1
zweiten Posten für dy seinen Wert einführt. Analog (,,en procedant
de la meme maniere“) gewinnt man für drei Faktoren:
cf (x y z) = x x y y d z -f-ixzdy-{-zydx = xyz(iyz — 1); an Stelle
von x tritt hier xy, an Stelle von y das z.
Die Differenz des Quotienten ergibt d | j = -XX--
V yy y

= X (x — y)
yy
=d^:d(x
y a

Aber die Analogie
x

:„ x 11. x £ — j) =±__[.±

liefert d ('X ) = ;“X
V y
xdy ydx —-xdy

y
x — y
v(x — 1

yy
=Wi
y y

(v -1:
(x — 1

dx
yy

y2y

y2y

Differential des Logarithmus.7) Sei x=Ly, so hat man
dx = d(Ly) = Lyy — Ly = Ly. Ebenso d L (yn) = L (yu) = nL (y)
== n d (L y). Wenn man eine konstante Beziehung zwischen dem
Faktor y und seinem Logarithmus voraussetzt, etwaLy = a(y—1)
(v — 1)_n a d y
y — y
Aber d (yn) = yn_l (yn_1 + yn-2 + • ■ 1) d y und folglich, wenn

so hat man dL(yn) = nLy = na(y — 1) = nay

7) Vergl. dazu die Ableitung des Differentials eines Logarithmus in den
Anfangsgründen der Analysis des Unendlichen, welche G. A. Kästner 1761 heraus-
gab. Reproduziert von Vivanti in Cantor, Vorlesungen IV, S. 672.