Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eine Schrift v. Ensheim „Recherehes sur les calculs differentiel et integral“. (A. 7) 11

man

y = 1 setzt d (yu) = n yn_1 d y = yr

d L y1

n a v
-dy = —
a y a
= y11 d L yn, wenn man a = 1 annimmt. So sieht man allgemein,
wenn man den Differenzenfaktor einer Funktion von beliebigen
Variabein der Einheit gleichsetzt, man das Differential einer
Funktion erhält, wenn man sie selbst multipliziert mit dem Differential
ihres Logarithmus,
Logarithmische Differentiation: cp'(x) = <p (x) d log [cp (x)]
z. B. d (x y z) = x y z d L (x y z) = x y z d [L (x) -f L (y) -f- L (z)] = x y z
C^X -{- -f- l^Z) = yzdx + xzdy -j- x y d z. Ferner d (ax) -
ax d L (ax), aber L (ax) = x L a, also d (ax) = ax L a.
/ cl X
Ebenso d (xy) = xy d L xy = xy d (y L x) = xy (^d y L x -f- y—^
Um die zweiten Differenzen zu finden, hat man nur drei
konsecutive Ordinaten in Betracht zu ziehen, y, yy, y y y, zieht
man die erste von der zweiten ab, so kommt y (v — 1) und durch
Subtraktion der zweiten von der dritten yy(y—-1), somit ist die
zweite Differenz d2 y = y y (v — 1) — y (y — 1) = y (y y — 2 y -f 1).
Allgemein wird die n-te Differenz von y oder
n /n-l n- 2 \ n(n — 1)
Y V y • y • ■ y • i) + — —

d» y = y

n n-l
y.y

V V

1 • 2

n- 2
y •

V Y

d" (y

-+ny+11.
Die n-te Differenz von y
hm n
)

y vyy

n\m
y.

oder

V v

n-l\m
• y

:M —2) ( n-2\m
Vy y • • y)

-j- . . ± n y + 1

wo die Koeffizienten die der Newton'sehen

Binomialformel sind und die Zahl der Faktoren gemäß den Ex-
ponenten in dieser Formel abnimmt, sodafi man bei x == 1 und
angenommener Gleichheit aller übrigen Faktoren x, x. . erhalten
würde: d11 x = (x—l)n. Es handelt sich jetzt darum, die An-
wendung und Berechtigung dieser Prinzipien zunächst am
Tangentenproblem nachzuweisen, undzwar ist in der,,Theorie
des tangentes“ zunächst die Subtangente TP zu bestimmen (Fig. 2).
Es sei PM == y, p m = y y, zieht man M n parallel zur Abszissen-
achse, so ist m n = y (y— 1), Mn = Pp = x(x— 1). ln den beiden
ähnlichen Dreiecken Mmn und MPT hat man y (y—1): x (x—1)
x(x—1)

= y : PT, also PT

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vermöge der Gleichung der Kurve