Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eine Schrift v. Ensheim „Recherches sur les calculs differentiel et integral“. (A. 7) IS

Werte haben kann, so muß a ihr konstanter Wert sein. Diese
Größe ist willkürlich, und im System der natürlichen
Logarithmen macht man sie gleich 1. Wenn man also y—1
gleich einer sehr kleinen Größe nimmt, so wird die Subsekante
sich von der Subtangente nicht merklich unterscheiden, was die
Proportion veranlaßt 1 : y = x (x — 1) : y (y— 1) = d L y : y (y -— 1)
= Ly:y(y—1) also Ly = dx = y— 1. Dies gibt ein sehr ein-
faches Mittel, eine Zahl durch ihren Logarithmus und umgekehrt
auszudrücken. Es sei y = m = (1 -f- b), b eine sehr kleine Größe,
sei Logarithmus von m. Vermöge der Natur der Kurve kann man
eine beliebige Ordinate durch die Größe (1 -j- b) ausdrücken, erhoben
zu einer gewissen Potenz. Es sei also y = (1 -j- b)p, dann hat man
x = Ly = pL (1 -f- b) = pb, da aber b sehr klein ist, muß p sehr
groß sein, damit das Produkt p b gleich der endlichen Größe x wird.

P(P-

!) _j_ P(h J )(P

■2)

Nun ist aber (1 + b)p = 1 -f pb + i q> „ , 1 >q)<3
-j-e. c. t.; da p sehr groß ist, so kann man im Verhältnis zu ihm
alle endlichen Zahlen vernachlässigen und jeden Faktor p — 1,

p — 2 e. c. t. als ihm gleich betrachten, also y = (1 -j-b)p = 1 -j-

pb
T

pMv
2
xq

P‘


Pq bq

-f- e. c. t. = 1 -j- x -f~

x°
2RS

2*3 2 • 3 .. q i-i ^
-pe.c.t. (Logarithmische Reihe.) Durch die umgekehrte

2 • 3 .. q
Operation kann man auch einen Logarithmus ausdrücken, durch die
Zahl, die ihm entspricht. Setzen wir y = (1 -f-b)p = 1 -j- n, so hat man
i i
n)p

(1

1; und x = pb = p (1 -f n)

i
lung des Binoms kommt: p’(l -j- n)p = p j 1 -j- ' n -j-

Durch Entwick-

1_
P
1-2

1 /1

P W

1 /1

P VP

e

-2

m

ln"

1-2-3
( , , n 1
p|mp +

p

n2 -j-

1 (1

1-2-3
- p) (1

. m
2 p)

2 p2
1(1 -- p) • • ■ (I — mp + p)
1-2 ... mp”1
sich letzterer Ausdruck auf p + n

1-2-3 p3
da aber p sehr groß, so reduziert

also x = p (1 +n)

m
¥

n2 . n3
- j + J • • •
n2m
^2m 1
2 m !
2 m 4“ 1 ’
n3 n2m
, . 2m + 1
. 1 11
v - 1
3 2 m
2 m -j- 1
— y 1