Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eine Schrift v. Ensheim „Recherches sur les calculs differentiel et integral“. (A. 7) 15

also x = Ly nimmt, so wird d (y) = y d x, d2 (y) = y (d x)2, dn (y)
= y (d x)n und wenn wir anstelle von y, ym setzen dn (ym)
= [d (L (ym)]n*ym = ym-[d (m L y)]n = mn-ym-(d x)n.
Es soll nun der allgemeine Ausdruck des Oskulations-
radius aufgestellt werden. Es sei die Ordinate der Kurve
im Punkte M = MP, der Oskulationsradius MK. In den ähnlichen
Dreiecken M P m und M Q K hat man y : n = u : r, da nun r kon-
stant sein muh in zwei verschiedenen Lagen, und d (u) = d (y), so

hat man d — -

dy

d (y : n), also r

dy

d (y: n)

u
r / r
Wenn man im Resultat dieser Opera-
tionen die Differenzenfaktoren der
Einheit gleichsetzt, so erhält man den
Oskulationsradius; macht man nur
y = 1 und läßt x bestehen, wird
ein Kreis erhalten des Radius r, Zen-
trum K, wo zwei gleiche Kreisordinaten
in den Schnittpunkten mit der Kurve
verschiedenen Abszissen entsprechen.
Wenden wir unsere Methode an, so
dfr)“*-A nach R*
n d (y) — yd (n)'
n3 (li -f- 1) n d (y)

und u -

ydy
n d (y : n)'

JT
\\n
4 p
\\m
a
IV

ergibt sich r
Erweiterung mit n (n

1), r -

(der zweite

n2 (n -j- 1) d y — yd (n2)
Posten im Nenner, weil n • n (n -j- 1) (n — 1) — d (n2).
Vermöge der Kurvengleichung kann man aber immer
n2undd(n2) in Funktion von y und y ausdrücken. Man wird
d (y) eliminieren, um r in bestimmten Größen zu erhalten.
Die Gleichung der Apollon. Parabel ist 2ax = y2; die
Subnormale (oben bestimmt) = a und n2 = y2 ~f a2, d (n2) = y
(y 4- 1) d y (eigentlich ja y2 (y2 — 1), also
n3 (h -f l)fndy _ n3 (n -f- 1) li
- 1) d y — y2 (y -f- 1) d y n2
n3 n‘ y
wenn wir y = n = l setzen r= 9-9 und u = 9 (aus älm-


n n

n2 — y2

y2 (y +1)
.2

und

liehen Dreiecken), also u -

(a2 + y2) y y

(2 x -j- a).

p x
a

Die Mittelpunktsgleichung d
2
-, also die Subnormale: [da, y2(y2

er Ellipse ist: y5

1)

[x2

p a
1)1