Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eine Schrift v. Ensheim „Recherches sur les calculs differentiel et integral“. (A. 7) 17

Tangente nur im Berührungspunkt begegnet und es findet sich
weder Inflexion noch Asymptoten.
Die Hyperbel hat die Mittelpunktsgleichung a2 y2 -
b2 (x2 — a2), also S = [wegen a2 y2 (v2 — 1) = b2x 2 (x2 — 1)]

und mit Einführung des Zählerwertes aus der Kurvengleichung

S -

x — a^

und d y

ydx_ yxdx

x S x
Differenzengleichung der Kurve d y

andererseits liefert die

b2 (± + 1) x d x

und durch

a2 y2 ^2
a2 y

a2y(y-M)
v x d x b2xdx
Vergleich der beiden Werte von dy erhält man: = - -2-—--
X 3. 3, y
für j = ±, also für letztere Gleichheit auch aus der Kurvengleichung:
x2 = b2 (x2 x2 — a2) und die Kurvengleichung abgezogen:
2 (i2—l) = b2x2(x2—1), also: a2y2 = b2x2, ein unmöglicher
Ausdruck, falls nicht x2 sehr grob ist, so daß a2 in der
Kurvengleichung dagegen vernachlässigt werden kann. Für diesen
Fall aber wird sich die Kurve mit der Tangente identifizieren und
man hat eine Asymptote.
Es sei ferner y3 = a2 x, dann hat man y3 y3 = a2 x x und
3^ d. X
d y = ^2/ 2 i ^ | verbindet man mit diesem Wert von dy den mit

y2(y2-fy + i)’
Hilfe der Subtangente d y

ydx ydx

3 x

[nach unserer Methode

ist y3(y — l)(y2 + y+l) = ax(x-

1), also t—w
' y—i

für j — 1 wird die rechte Seite — 3, also S -
hat man y3 (y-2 -f- y -j-1) = 3 a2 x, also y2 -j-

fc-w+f+n
- 3 x] gefundenen, so
y = 2; die Wurzeln

dieser Gleichung sind aber 5^ =--——, also y = 1 und y2 = — 2,
also wird die Tangente in irgend einem Punkte der Kurve y3= a2 x
den entgegengesetzten Ast der Kurve in einem Punkte schneiden,
wo die Ordinate — 2 y ist. Wenn aber j unbestimmt ist, so ist
klar, daß die Inflexion im Anfangspunkt der Koordinaten
statt hat. Wenn eine Parallele zur Abszissenachse die Kurve in
zwei verschiedenen Punkten trifft, so hat man gleiche Ordinaten,
deren Abszissenunterschied d (x) ist. Je mehr sich dieser Unter-
schied vermindert, wachsen oder nehmen die beiden gleichen Ordi-
naten ab, je nachdem die Kurve ihre konkave oder konvexe Seite
der Abszissenachse zukehrt. Um also die Parallele zur Achse als
Tangente zu erhalten, müßte d x = 0 sein, die beiden gleichen
Sitzungsberichte der Heidelb. Akademie, math.-phys. Kl. 1913. A. 7, 2