Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

24 (A. 7)

K. Bopp:

Endlich S. (a -\- bxm)q xm (in — 1) = n q

(a + bx-)?
m b (p + q)

diese letztere Gleichheit zu beweisen, setzt Ensheim: (a-f- b x1

m'v q

Um

U,

dies gibt xn

— a d (uh
q-—, d (xm) = --—; es ist aber xm (in—i) =-
b b

d (xm) .

(±n — 1 -f- xn _ 2 -f-

1) -P-
also (a 4- b xm)q xm (xn — 1) -

Sodann wird d (uq) ausgeführt

x1“ ~1 -}- xm — 2 -f- . . x -f- 1
(xn ~1 -j- xn ~ 2 . . x -|-1) up d (uq)
(xm _ 1 + xm _ 2 -f . . x -j- 1) b
= uq (üq — 1 -j~ üq~2 -j- • • ü -f- 1) (ü — i) und anstelle von up + q ein-
d(up + U

geführt

also hat man:

(qq + p- i _j_ qq + p-2 _|_ _ _ q -|~ 1) (ü — 1)’
_p
(ad b xm) q xm (xn — 1)
4~ • . ü 1) (xn 1 -j~ xn 2 + • • x 1) d (uE

(iU-i-f
(qp + q-i

n q

iP + q

u

+ • • ü 4- u

— 1

4- xm 2 4~ •. x 4~ l) b-

Bei Integration wird das Differenzenbildungszeichen vernichtet und
p + q
q

. ^ , , , „m „ ,, n q (a 4~ b x1
somit S. (a 4- b x )q x (x11 — 1) = -.
m b (p + q)
Um die Berechtigung dieser Prinzipien zu zeigen,
wenden wir sie wieder auf die gewöhnlichen Probleme
der Integralrechnung an. Es handle sich darum, den krumm-
linig begrenzten Flächenraum
FGMP zu quadrieren. Das
Element der Fläche ist aus
zwei Teilen zusammengesetzt,
dem Parallelogramm FpnG und
den von den Koordinatendiffe-
renzen gebildeten Dreieckchen.
Die Summe dieser Dreieckchen
ist aber offenbar kleiner als
x • d y, denn wenn man d y unaufhörlich halbiert, kommt man


zu dem Ausdruck

xd y

kleiner als jede angebbare Größe. Der

Flächenraum FPMG kann also sehr wohl = S. y d x gesetzt werden.
Damit aber y dx sehr klein werde, muß d x = x (i — 1) nahe an
o, also ± = 1 gesetzt werden. Die Differenz von x y ist nun
xy(iy — 1). Wenn also die Gleichung der Kurve eine konstante
Beziehung zwischen i y — 1 und x — 1 liefert, so besteht dieselbe