Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

3G (A. 7)

K. Bopp:

1. A = aFp-1, B = bFx-1, G = cFy-1, also A, B, G homogene
Funktionen vom Grade e — 1 oder a F p_1 d p = A d p; b F x_1 d x
= Bdx; C d y = c F y_1 d y.
2. Wenn man Adp nach x differenziert, d. h. x als einzig
variabel annimmt, so kommt dx (A d p) = a p-1 d p dx (F) = F a p“1
d p b x“1 d x. Ebenso dp (B d x) = F b x_1 d x a p"1 d p, dy (A d p)
= F a p"1 d p c y_1 d y, dp (G d y) = F c y_1 d y a p~A d p usw. Man
hat also allgemein dx (A d p) = dp (B d x); dy (A d p) = dp (G d y),
die sogenannten Bedingungsgleichungen, oder anders aus-
gesprochen, in jedem vollständigen Differential ist C\—^
d x d p
d (A) _ d_(G) d (B) _ d (C)
d y d X ' d y dx

3. Bringt den Satz von der Umkehrung der Ordnung der
Differentiationen, denn dy (dx Adp) = abp-1x~1dpdxFcy_1dy,
dx (dy A d p) = a c p~ 1 y_1 d p d y F b x“1 d x also ' )- = f ;
1 1 J 1 J dxdy dxdy
wenn man nochmals nach z differenziert:
d(A)__ d (A) _ _ d (A)
d x d y d z d y d x d z d z d y d x-
4. Die bestimmten Koeffizienten A, B, G, sind nach der ersten
Differentiation vom Grade e—1, nach der zweiten vom Grade e — 2,
nach der n-ten, vom Grade e — n.
5. Ist n = e, so sind diese Faktoren vom Grade Null und die
Differenzen von der Dimension e. Wenn man also eine Funktion
so oft differenziert als ihr Grad Einheiten hat, dann ist der Koeffi-
zient nach der letzten Differentiation konstant, und das Differential
selbst ist das Produkt so vieler partieller Differentiale als Variable
in der Funktion enthalten sind, so daß also ihre Dimension = dem
Grade e ist.
6. Nach der ersten Differentiation beträgt die Summe der
konstanten Koeffizienten a + b + c + . . . = e, nach der zweiten
ab + ac + bc + . . . == e1, nach der dritten könnte man daraus
bilden abc + abd + bcd + ... = en und so fort, so daß die erste
Differentiation die Summe der Koeffizienten, die zweite die Summe
ihrer Kombinationen zu zweien, die n-te die Summe ihrer n-er
Gruppen liefert. Treibt man also die Differentiationen so weit, bis
die Möglichkeit, daß die konstanten Koeffizienten noch andere Werte
annehmen, ausgeschlossen ist, so wird man für die Exponenten der
primitiven Funktion eine Gleichung vom Grade n = der Anzahl