Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eine Schrift v. Ensheim „Recherches sur les calculs differentiel et integral“. (A. 7) 41

5. Löst man die Gleichung, indem man x — 2 a = (a + Vb)
+ (a — V b) annimmt und (a + V b)3 + ( a — V b)3 = — q voraus-
D
setzt und a2 — b = —so hat man x2 = 4 a2, also 3 x2 = 12 a2
ö

= 12b2 — 4p, somit die beiden andern Wurzeln---
Li
_ l
— — a±b2V~ 3. Damit diese reell seien, muh b2 imaginär
oder Null sein. Aber aus dem Produkt der drei Wurzeln (a2+3b) 2 a
= — q, also 4 a6 + 24 a4 b + 36 a2 b2 = q2 oder a6 + 6 a4 b + 9 a2 b2
2 3
= -j- und aus a2 — b = — a6 — 3 a4 b + 3 a2 b2 — b3 — —~ oder
4 O Lil
r
mit Zeichenwechsel — a6+3a4b — 3 a2 b2+b3 — also 9 a4 b +
27’
/ 2 3\ 1
6 a2 b2+b3 = (3 a2 VT+b V¥)2 = (x+fy) oder (3 a2+b) by = +
/ q2 p3\ -k
\4 ”^27/ ’ ^ a^S° ^zderer Ausdruck weder Null noch negativ,

so ist es b auch nicht, und die Gleichung hat zwei imaginäre Wurzeln.
O Q 1
Q P° —
Ist aber negativ, so ist b2 imaginär, und die drei Wurzeln
4 27 8 6
i i_
der Gleichung 2 a, —a + b2 V—3 und —a — b2 V—3 sind alle
drei reell. (Gardanische Formel!)
Die allgemeine Gleichung IV. Grades ist x4 + px3 + qx2
+ T x + s = 0. Durch Differenzenbildung und Division mit d (x)
kommt wieder x3 (x3 + i2 + ± + 1) + p x2 (i2 + x + 1) + q x (x + 1) + p
= 0(A). Durch Differenzenbildung in (A), indem man einzig x als
variabel betrachtet, und Division der neuen Differenz mit x d (x)
erhält man x2 (1 + x + x2 + x x + x2 x + x2 x2 + p x (1 + x + x x) + q
= 0 (ß). Bildet man in (B) wieder die Differenz, indem man nur
x variieren läßt, und teilt alsdann durch xxd (x), so hat man
x (1 +x + x x -j-x x x) + p = o (G). Geht man zur Gleichung (B) zu-
rück, so findet sich, indem man den Wert von p substituiert und
möglichst reduziert: x2(i + ii+ x x i + x2 x + x2 xl + x2 x2 k) =- q.
Substituiert man die Werte von p und q in der Gleichung (A) und
reduziert, so hat man x3x2x(l+k + xi + xxk) = — y; endlich,
führt man die Werte p. q, y in die gegebene Gleichung ein, so
entnimmt man ihr x4 x3 x2 x = s. Es ist aber x (1+x + x x + x x i)
die Summe der Wurzeln, der Ausdruck: x2 (x -f- x x + x x x + x2x