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https://doi.org/10.11588/diglit.37349#0043
Eine Schrift v. Ensheim „Recfierches sur les calculs differentiel et integral“. (A. 7) 43
dann 3R (xn *) = — (l + — + ^-+-^) = — 2R (xn J) — also
V x x“ x3/ x3
2R fxn ' ) + 3R (in—1) = — ~ = 3R (±n) und 3R (xn) = — G. Ganz
allgemein 2pR (xn—1) = l\ +— + H—-4 + . • = — 2p—1R (xn—1)
\ X X“ X3 xp /
+ ^p, also,2p“1R (i^+^R (i11-1) = 2pR (xn) =— und 2pR(xu) =K.
Da nun der Satz über die Zusammensetzung der Koeffizienten für
die Gleichung IV. Grades erwiesen ist, so ist er durch dieses
Verfahren der Methode vollständiger Induktion ganz allgemein er-
wiesen.
Endlich wird die Methode zur Auffindung einer
Doppelwurzel und des Kriteriums dafür gebraucht. Die
vorgelegte Gleichung sei xm+pxm~1+ . ..qx+y = 0. Bildet man
die Differenz und teilt durch d (x), so findet sich xm~1(im"'1-fim~2
+ . . + l) + p xm~2 (im—2 + . . . x+1) + . . . q = 0. Aber für eine
Doppelwurzel ist notwendig x= 1, also wird die Differenzen-
gleichung m xm—1 + (m — 1) p xm~2-f • . +q = 0 und man hat zwei
Gleichungen, aus welchen man x eliminieren kann und unter den
Koeffizienten damit die Bedingungsgleichung für eine Doppelwurzel
auffinden. Multipliziert man die gegebene Gleichung mit dem höchsten
Koeffizienten m und subtrahiert davon die Differenzengleichung,
nachdem man sie mit x multipliziert, so kommt man zur Gleichung
pxm—1 + 2p'xm"~2+3p"xm”3+. . (m — 1) q x+m f = 0, in welcher
die Zahlenkoeffizienten in derselben arithmetischen Progression ab-
nehmen, in welcher die Exponenten wachsen. Die vorgelegte
Gleichung sei x3 + p x2 + q x + p = 0; bildet man die Differenz, teilt
durch d (x), so erhält man für x=l, 3 x2+2 p x+q = 0 (B). Die
Elimination von x vollzieht sich in folgenden Schritten: Multipliziert
man diese mit x und subtrahiert sie von der mit 3 multiplizierten
ursprünglichen Gleichung, so kommt p x2-f-2 q x + 3 p = 0 (G). Nun
gibt 3 (G) — p X (B) = (6 q — 2 p2) x + 9 p — q p = 0 (D) und
(6 q — 2 p2) [(B)] — 3 x [(D)] = (15 p q — 4 p3 — 27 p) x+q (6 q — 2 p2)
= 0 (E). Endlich — (6 q — 2 p2) [(E)] + (15 p q - 4 p3 - 27 p [(D)]
= 0 = q (6 q — 2 p2)2 — (9 p — q p) (15 p q — 4 p3 — 27 p) = 0, die
Bedingungsgleichung, welche sich auf 27 p2+4p3 p — 18 p q p — p2 q2
q p — 9 p
+ 4 q — 0 reduziert, und welche x -
involviert [zur
6 q — 2 p2
Gewinnung der Bedingungsgleichung hätte man ja auch den Wert
dann 3R (xn *) = — (l + — + ^-+-^) = — 2R (xn J) — also
V x x“ x3/ x3
2R fxn ' ) + 3R (in—1) = — ~ = 3R (±n) und 3R (xn) = — G. Ganz
allgemein 2pR (xn—1) = l\ +— + H—-4 + . • = — 2p—1R (xn—1)
\ X X“ X3 xp /
+ ^p, also,2p“1R (i^+^R (i11-1) = 2pR (xn) =— und 2pR(xu) =K.
Da nun der Satz über die Zusammensetzung der Koeffizienten für
die Gleichung IV. Grades erwiesen ist, so ist er durch dieses
Verfahren der Methode vollständiger Induktion ganz allgemein er-
wiesen.
Endlich wird die Methode zur Auffindung einer
Doppelwurzel und des Kriteriums dafür gebraucht. Die
vorgelegte Gleichung sei xm+pxm~1+ . ..qx+y = 0. Bildet man
die Differenz und teilt durch d (x), so findet sich xm~1(im"'1-fim~2
+ . . + l) + p xm~2 (im—2 + . . . x+1) + . . . q = 0. Aber für eine
Doppelwurzel ist notwendig x= 1, also wird die Differenzen-
gleichung m xm—1 + (m — 1) p xm~2-f • . +q = 0 und man hat zwei
Gleichungen, aus welchen man x eliminieren kann und unter den
Koeffizienten damit die Bedingungsgleichung für eine Doppelwurzel
auffinden. Multipliziert man die gegebene Gleichung mit dem höchsten
Koeffizienten m und subtrahiert davon die Differenzengleichung,
nachdem man sie mit x multipliziert, so kommt man zur Gleichung
pxm—1 + 2p'xm"~2+3p"xm”3+. . (m — 1) q x+m f = 0, in welcher
die Zahlenkoeffizienten in derselben arithmetischen Progression ab-
nehmen, in welcher die Exponenten wachsen. Die vorgelegte
Gleichung sei x3 + p x2 + q x + p = 0; bildet man die Differenz, teilt
durch d (x), so erhält man für x=l, 3 x2+2 p x+q = 0 (B). Die
Elimination von x vollzieht sich in folgenden Schritten: Multipliziert
man diese mit x und subtrahiert sie von der mit 3 multiplizierten
ursprünglichen Gleichung, so kommt p x2-f-2 q x + 3 p = 0 (G). Nun
gibt 3 (G) — p X (B) = (6 q — 2 p2) x + 9 p — q p = 0 (D) und
(6 q — 2 p2) [(B)] — 3 x [(D)] = (15 p q — 4 p3 — 27 p) x+q (6 q — 2 p2)
= 0 (E). Endlich — (6 q — 2 p2) [(E)] + (15 p q - 4 p3 - 27 p [(D)]
= 0 = q (6 q — 2 p2)2 — (9 p — q p) (15 p q — 4 p3 — 27 p) = 0, die
Bedingungsgleichung, welche sich auf 27 p2+4p3 p — 18 p q p — p2 q2
q p — 9 p
+ 4 q — 0 reduziert, und welche x -
involviert [zur
6 q — 2 p2
Gewinnung der Bedingungsgleichung hätte man ja auch den Wert