Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

4 (A. 23)

Otto Haupt:

Den Schnitten a^, b^, ij seien bzw. die Matrizen A^, B^, Aj
zugeordnet und es werden nun alie Scharen von n Funktionen
Wi, gesucht, die folgende Eigenschaften besitzen* (RiE-
MANNSches Problem):
1. Wi, - - - , sind im Innern von T' eindeutig und,
bis auf Pole, regulär analytisch; in den Pj (j = 1,
- - -, s) verhalten die Wi, *'', sich bestimmt^.
2. Wi, - - -, lassen sich, von den Punkten Pj (j = 1,
- - -, s) abgesehen, analytisch über die Schnitte a^,
1\, lj fortsetzen.
3. Bezeichnet man die durch eine solche Fortsetzung
in der Richtung vom-—Uferzum-)-Ufererhaltene
Schar von n Funktionen mit W^, ---, W^*, im
Gegensätze zu den ,,Ausgangszweigen" Wy, - - - ,
Wy, so bestehen für p = l,---,n die Relationen:
n
= Y] A^ Wj7 beim Überschreiten von a^, v 1, - - -, p ,


n
\

k=l

B^ W"
^pk ^^k


?! ^ Ü * " ? P ?
lj, j = ü"',S.

Die Beantwortung der gestellten Frage gibt der folgende
SatzS;
Zn /e&r corgege&e^e7?. ÜAzzmAFrFHA n S*cA<2rezz
- - -, (k = 1, - - -, n) AergewAzz^cAFzi Fe5*cAn//e?zAeH, zuk.?cAe%
Aefzze ümezzre Afehüüm mH u^ge^m^cAezi FunAhozie/i
der FYAcAe &e^eAh A. A. AezAe der Form

D,V)W!hz)-0, i = l,...,n,
k=l

^ Vgl. ScHLEsiNGER, Vorl. über lineare Diffgl. (Leipzig 1908, S. 229 ff.)
2 Vgl. SCHLESINGER, a. a. 0. S. 143.
^ PLEMELJ, Über SCHLESINGERS ,,Beweis" der Existenz usw. (Jah-
resber. d. D. Math.-Ver., Bd. 18, 1909, S. 20); ferner RiEMANNSche Funktio-
nenscharen (Monatshefte f. Math., 19. Jahrg., 1908, S. 211). Bezüglich der
weiteren Literatur, insbes. der Arbeiten der Herren ScHLEsiNGER und BiRK-
HOFF, vgl. Nr. 14 des Referats von Herrn HiLB: ,,Lineare Diffgl. im kom-
plexen Gebiet" (Enz. math. Wiss. II B 5).