Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

6 (A. 23)

Otto Haupt:

hat mich Herr HiLB darauf aufmerksam gemacht, daß die auf die
Integralscharen bezüglichen Existenzsätze auch für den allgemein-
sten Fall in dem von RiTTER aufgestellten erweiterten RiEMANN-
RocHsehen Satze bereits enthalten sein müßten.
Dies ist (wie im folgenden für die Integralscharen I. Gattung
kurz ausgeführt werden soll) in der Tat der Fall, im wesentlichen
deshalb, weil die ,,Integranden 1. Gattung" beim allgemeinen
RiEMANN-RocHsehen Satze von RiTTER^ die gleiche Rolle spielen,
die beispielsweise im Falle der algebraischen Funktionen den ,,ÄBEL-
schen Integranden 1. Gattung" zufällt. Aus dem nämlichen Grunde
treten bei diesen Eetrachtungen die endhcAe/z FwzA;-
^P7ze7McAu7Y7z" in die Erscheinung, d. h. diejenigen Integralscharen
1. Gattung, deren (additive) Perioden sämtlich Null sind. Diese
Integralscharen sollen kurz als ,,M77e7ge7i^7cAe /7zfegrnDcAare7z" be-
zeichnet werden, im Gegensatz zu den ,,eigerüh'cAe7?" Scharen von
Integralen 1. Gattung, bei denen also die Perioden nicht sämtlich
verschwinden.
Die zugrunde gelegten Existenzsätze bezogen sich auf die
Funktionen des komplexen Argumentes z. Man kann aber auch,
wie schon erwähnt, von den zur Charakteristik gehörigen Scharen
von PotentialfunktioneiD ausgehen, die sich überdies in-
homogen, also wie eigentliche Integralscharen substituieren; erst
aus diesen Potentialfunktionen gewinnt man den RiEMANN-
RocH sehen Satz und schließlich die Funktionenscharen komplexen
Argumentes; hier ergibt sich ein neuer Weg für den Beweis der Lös-
barkeit des RiEMANN sehen Problems^. Diesen Weg hat RiEMANrD in
seiner Theorie der ABEL sehen Funktionen eingeschlagen; auch die
Herren PRYM und RosT^ gründen die Theorie der PRYM sehen
Funktionen auf die Existenzsätze für die zugehörigen Potential-
funktionenA
Es mag nicht unerwähnt bleiben, daß auch umgekehrt aus
der Existenz der Funktionen eines komplexen Argu-
i RiTTER, a. a. 0. S. 189ff.
s Das sind die Lösungen von Au = 0.
^ Vgl. hierzu auch PRYMM-RosT, a. a. 0. I. Teil, 6. Abschnitt, Art. 3.
^ RiEMANN, Theorie d. Abelschen Funktionen (Ges. Werke, Leipzig
1892, 2. Aufh, S 88).
s PRYM-RosT, a. a. 0. I. Teil.
s Hinsichtlich der Schwierigkeiten für den Existenzbeweis, die im PRYM-
schen Falle gegenüber dem der ABEL sehen Funktionen auftreten, vgl. PRYM-
RosT, a. a. O. I. Teil, 5. Abschnitt, insbes. S. 103 oben.