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https://doi.org/10.11588/diglit.37446#0007
Bemerkung über die Integrale Riemannscher Funktionenscharen. (A. 23) 7
mentes die Existenzsätze für die Potentialfunktionen
sich gewinnen lassen. An der Hand eines einfachen Beispiels
wird dies zum Schlüsse kurz erörtert werden.
Eine ausführlichere Behandlung des Gegenstandes soll an
anderer Stelle erfolgen.
2. Anzahl der unabhängigen Integralscharen 1. Gattung.
Der Betrachtung lege man eine sogenannte kanonische Fläche^
des durch die vorgegebene Fläche T bestimmten algebraischen
Gebildes zugrunde; für die Zwecke der folgenden Abzählung be-
deutet das keine Beschränkung der Allgemeinheit. Bezeichnet m
die Blätterzahl der kanonischen Fläche, so ist d = ^—- eine ganze
m
Zahl und m(d-[-2) die Anzahl der Verzweigungspunkte der
Fläche.
Auf der kanonischen Fläche existiert eine ganze algebraische
Funktion 0, die nur in den Verzweigungspunkten der Fläche, und
zwar dort je mit der Multiplizität des betr. Verzweigungspunktes
verschwindet, die ferner in jedem unendlich fernen Punkte P„ der
Fläche gerade von der Ordnung 2-!-d unendlich wird. Jede
ganze Formenschar des Problems vom Grade 2p—-2 (gemessen in
Primformen) gibt daher (bei geeignet gewählten Exponenten in
den Pj (j = 1, . . ., s) [siehe weiter unten]) Anlaß zu einer Integral-
schar 1. Gattung des Problems.
Unter einer Integralschar 1. Gattung des Pro-
blems wird dabei eine Schar von n, auf T allent-
halben endlichen Funktionen verstanden, die beim
Überschreiten eines der Schnitte a^, b^,, lj sich den
vorgeschriebenen Bedingungen (S. 4) gemäß linear
substituieren mit der Modifikation, daß zu den ge-
gebenen homogenen Substitutionen additive Perio-
den hinzutreten können. Um den Begriff der Integral-
schar 1. Gattung völlig zu fixieren, muß noch erklärt werden,
wann eine Schar an der Stelle Pj (j = I, ... s) endlich bleibt. Sind
(k = 1, . . ., n) die der Stelle Pj durch die Matrix Aj zugeord-
i Siehe KLEIN, Zur Theorie d. ÄBELSchen Funkt. (Math. Ann., Bd. 36,
1889, S. 24). Vgl. ferner RiTTER, Multiplikative Formen (Math. Ann., Bd. 44,
1894, S. 268).
mentes die Existenzsätze für die Potentialfunktionen
sich gewinnen lassen. An der Hand eines einfachen Beispiels
wird dies zum Schlüsse kurz erörtert werden.
Eine ausführlichere Behandlung des Gegenstandes soll an
anderer Stelle erfolgen.
2. Anzahl der unabhängigen Integralscharen 1. Gattung.
Der Betrachtung lege man eine sogenannte kanonische Fläche^
des durch die vorgegebene Fläche T bestimmten algebraischen
Gebildes zugrunde; für die Zwecke der folgenden Abzählung be-
deutet das keine Beschränkung der Allgemeinheit. Bezeichnet m
die Blätterzahl der kanonischen Fläche, so ist d = ^—- eine ganze
m
Zahl und m(d-[-2) die Anzahl der Verzweigungspunkte der
Fläche.
Auf der kanonischen Fläche existiert eine ganze algebraische
Funktion 0, die nur in den Verzweigungspunkten der Fläche, und
zwar dort je mit der Multiplizität des betr. Verzweigungspunktes
verschwindet, die ferner in jedem unendlich fernen Punkte P„ der
Fläche gerade von der Ordnung 2-!-d unendlich wird. Jede
ganze Formenschar des Problems vom Grade 2p—-2 (gemessen in
Primformen) gibt daher (bei geeignet gewählten Exponenten in
den Pj (j = 1, . . ., s) [siehe weiter unten]) Anlaß zu einer Integral-
schar 1. Gattung des Problems.
Unter einer Integralschar 1. Gattung des Pro-
blems wird dabei eine Schar von n, auf T allent-
halben endlichen Funktionen verstanden, die beim
Überschreiten eines der Schnitte a^, b^,, lj sich den
vorgeschriebenen Bedingungen (S. 4) gemäß linear
substituieren mit der Modifikation, daß zu den ge-
gebenen homogenen Substitutionen additive Perio-
den hinzutreten können. Um den Begriff der Integral-
schar 1. Gattung völlig zu fixieren, muß noch erklärt werden,
wann eine Schar an der Stelle Pj (j = I, ... s) endlich bleibt. Sind
(k = 1, . . ., n) die der Stelle Pj durch die Matrix Aj zugeord-
i Siehe KLEIN, Zur Theorie d. ÄBELSchen Funkt. (Math. Ann., Bd. 36,
1889, S. 24). Vgl. ferner RiTTER, Multiplikative Formen (Math. Ann., Bd. 44,
1894, S. 268).