Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Bemerkung über die Integrale Riemannscher Funktionenscharen. (A. 23) 11

(S'.) Y[9U1-BJ-93Ü1-AJ!=0- '
V=1

Es gibt genau 2p—1 unabhängige, der Bedingung (Sh) ge-
nügende Wertesysteme solange nur nicht A^ = B^, = 1 für
jedes v = 1, - - - , p. Von diesem Falle (der ÄBELSchen
Funktionen) wird im folgenden abgesehen.

Unter den gemachten Annahmen (n = 1, s = 0) hat jedes zur
Charakteristik gehörige uneigentliche Integral 1. Gattung
Wo auf T weder Nullstellen noch Pole; es gibt — von einem kon-
stanten Faktor abgesehen — höchstens ein derartiges Integral zu

vorgegebenen Randbedingungen;

W.

ist ein uneigentliches Integral

1. Gattung für das adjungierte Problem^. Mithin ist entweder
E = E'= 0 oder E == E'= 1, unter allen Umständen also^

A — 0 und A — A' — p — 1 .
Ist etwa Ap so können die eigentlichen Integrale 1. Gat-
tung Wi, . . Wp_i des Problems durch Addition je einer Kon-
stanten so 7mr77Aer% werden, daß 91p = 0 ist.
Man betrachte jetzt das ,,konjugiert-komplexe" Problem,
d. h. — unter Festhaltung der Fläche T — die Randbedingungen
w+ = A,w- + a, ,
, - v = 1, ... ,p ,
W+ = B„Y^ + S8„,
wo Ä^, B,, die zu A^,, B^, konjugiert-komplexen Werte sind.

Auch hier gibt es genau p—1 unabhängige, normierte, eigent-
liche Integrale 1. Gattung W*, W^, ' ' W*_^. Ein uneigentliches
Integral W* existiert sicher nicht, sobald das ursprüngliche Problem
eine Lösung W„ zuläßt; das folgt aus dem PRYMsehen Eindeutig-
keitssatzeE

Die zu den Werten der Funktionen W* konjugiert-komplexen
Werte W* definieren Funktionen der komplexen Variablen
z = x — iy, d. h. als Funktionen des Ortes auf der Fläche T be-
trachtet, solche Lösungen von Au = 0, die den Charakter nor-

1 Vgl. PRYM-RosT, a. a. 0. I. Teil, S. 156.
2 Vgl. APPELL, a. a. 0. S. 21 ff.
^ PRYM-RosT, a. a. 0. I. Teil, S. 184.