Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der Abeische Fundamentaisatz der Integralrechnung. (A. 9) 5

Sei nun y^ die Lösung einer mit Adjungierung von x irre-
duktibeln aigebraischen Gleichung
(5) y'-j-p^(x)y^-j-...^p^(x) = 0 ,
worin p^.-.p^ rationale Funktionen von x bedeuten, und habe
die Differentialgleichung
(6) y " + r, (x. y,) -Af + - - + r, (x, y,) u = y,
dx dx
ein in x algebraisches Integral, so wird sich dieses Integral, wenn
die reduzierte Differentialgleichung
"jO + r, (*, y,) +... + r, (X, yj u = 0
dx dx

n in x und y^ rationale Fundamentalintegrale hat, in x und y^
rational ausdrückbar sein, oder es wird, wenn die reduzierte
Differentialgleichung keiner Bedingung unterworfen wird, ein
rational in x und y^ ausdrückbares Integral der Differential-
gleichung (6) existieren.
Ist nun y^ in den Koeffizienten der Differentialgleichung
nicht enthalten, hat dieselbe also die Form

(6)

in
d U

1 n
dx

U (x)

in—1
d u

dx

n—1

...-^-rjx)u = y^ ,

und ist die Gleichung (5) algebraisch durch Wurzelzeichen auf-
lösbar, so können wir weitere Eigenschaften für die Teile, aus
denen y^ besteht, herleiten.
Sei y^ in der ÄBELSchen Definition eine algebraische Funk-
tion W** Ordnung und pW Grades, enthalte somit p. Primzahl-
wurzeln
Kl_ Kg_
]/Pl' ]/P2'**' l/Pp. '
in denen p^pg, ..,p^ algebraische Funktionen X—IW Ordnung
bedeuten, und von denen keine durch die nachfolgenden und
algebraische Funktionen X—IW Ordnung rational ausdrückbar
ist, so wird
l 2 —l
Ki Ki Ki
Yi=%+p, + qs Pt + -.. + q.,-i Pt

(?)