Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

4 (A. 11)

L. Koenigsberger:

Ul= l/-Pm(x,Yi,Y2,y3)

ist, so ist unmittelbar zu sehen, daß, wenn U2 eine Lösung der
Gleichung (3) ist, das transzendente Integral G mit den beiden
algebraischen Integralen Ui und Ug ein Fundamentalsystem bildet,
da eine Gleichung von der Form

G= miUi+ msUg ,

in welcher mi und im Konstanten sind, nicht bestehen kann.
Wir können somit die beiden ersten Fälle in den folgenden
Satz zusammenfassen:
Hat eine lineare Differentialgleichung dritter Ordnung ein
transzendentes Integral G, so bildet dieses entweder mit zwei
anderen transzendenten Integralen G und G ein Fundamental-
system, oder, wenn die Differentialgleichung ein algebraisches Inte-
gral U] besitzt, mit einem transzendenten Integrale G und einem
algebraischen Integrale von der Form


oder endlich mit zwei algebraischen Integralen ein solches.
Es wird somit unter der Annahme eines algebraischen Inte-
grales der Differentialgleichung (1) zur Erledigung der Fälle 1. und
2. nur der Fall
3. zu untersuchen sein, in welchem die Differentialgleichung (1)
ein transzendentes und zwei algebraische Integrale G, u^, Vi besitzt.
Zunächst können wieder Ui und Vi Lösungen von zwei ver-
schiedenen binomischen Gleichungen sein, so daß das allgemeine
Integral die Form hat

(4) u = CiG + C2]/Ri(x,yi,y2,yg) + Cg ]/%(x,v^,y^,yg) ,

worin Ri und Rg rationale Funktionen bedeuten. Schließen wir
diesen Fall aus, und sei Ug eine zu Ui gehörige Lösung der u-Glei-
chung, so können zunächst u^ Ug, v^ nicht drei algebraische Funda-
mentalintegrale sein, da G ein transzendentes Integral sein sollte,
und es müßte daher eine Beziehung von der Form stattfinden
(5) Vi - miUi + mgUg .