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https://doi.org/10.11588/diglit.34794#0006
6 (A. 11)
L. Koenigsberger:
(^o+^ Wo) + (^1+^ 1^1+^2)^1+ (^2+^1^2) Ui
+ ' ' ' + (W—1 + ^ 1 ^m—1) u = 0
folgt, so wird diese Gleichung auch bestehen, wenn Ui durch U2,
U3, . . Um, die sämtlich wegen der linearen Beziehung aller zu Ui
und U2 Integrale der Differentialgleichung 2^r Ordnung (8) sind,
ersetzt wird, und daher, da die Gleichheit zweier Lösungen wegen
der Irreduktibilität der Gleichung (3) ausgeschlossen ist,
<?0 + Y^To = 0, Ci-rkiTi+ka^O, O2+h^Tg = 0
usw. sein, woraus folgt, daß die Koeffizienten Yi, Y2 der Differen-
tialgleichung 2ter Ordnung, sowie die p, o, T es waren, rationale
Funktionen von x, y^ yg, yg sind.
Wir finden somit, daß, wenn in einer mit Adjungierung von
Y Yi- y*2i Y3 irreduktibeln algebraischen Gleichung alle Lösungen
lineare homogene Funktionen mit konstanten Koeffizienten von
zweien derselben sind, die lineare homogene Differentialgleichung
2ter Ordnung, welche die beiden letzteren zu Fundamentalintegralen
hat, Koeffizienten besitzt, welche, ebenso wie die Koeffizienten
der algebraischen Gleichung rationale Funktionen von x, y^ yg, yg
sindO- Wenn daher im Falle 3. die lineare Differentialgleichung
3ter Ordnung durch die Lösungen einer mit Adjungierung von
x, Yi, Yg, Ys irreduktibeln algebraischen Gleichung befriedigt wird,
in welcher sämtliche Lösungen lineare homogene Funktionen von
zweien derselben sind, so werden auch die sämtlichen Lösungen
der algebraischen Gleichung in u einer homogenen linearen Dif-
ferentialgleichung 2ter Ordnung
u" + Yiu' + YgU = 0
i) Wir können diese Bemerkung in folgender Weise verallgemeinern:
Wenn eine lineare homogene Differentialgleichung pW Ordnung, deren
Koeffizienten algebraische Funktionen yg, y3, . - - von x sind, ein alge-
braisches Integral besitzt welches die Lösung einer mit Adjungierung von
x, yi, y2, Y3, - - - irreduktibeln algebraischen Gleichung ist, so sind bekannt-
lich sämtliche Lösungen dieser Gleichung Integrale jener Differentialgleichung
^ter Ordnung; aber es werden auch umgekehrt, wenn sämtliche Lösungen
einer algebraischen Gleichung, deren Koeffizienten von x und algebraischen
Funktionen y^, yg, y3, . . . von x rational abhängen, einer linearen homogenen
Differentialgleichung genügen, die Koeifizienten dieser rationale Funktionen
von x, y^ yg, yg, . . . sein -—- vorausgesetzt, daß die Ordnung der Differential-
gleichung den Grad der algebraischen Gleichung in u nicht übersteigt.
L. Koenigsberger:
(^o+^ Wo) + (^1+^ 1^1+^2)^1+ (^2+^1^2) Ui
+ ' ' ' + (W—1 + ^ 1 ^m—1) u = 0
folgt, so wird diese Gleichung auch bestehen, wenn Ui durch U2,
U3, . . Um, die sämtlich wegen der linearen Beziehung aller zu Ui
und U2 Integrale der Differentialgleichung 2^r Ordnung (8) sind,
ersetzt wird, und daher, da die Gleichheit zweier Lösungen wegen
der Irreduktibilität der Gleichung (3) ausgeschlossen ist,
<?0 + Y^To = 0, Ci-rkiTi+ka^O, O2+h^Tg = 0
usw. sein, woraus folgt, daß die Koeffizienten Yi, Y2 der Differen-
tialgleichung 2ter Ordnung, sowie die p, o, T es waren, rationale
Funktionen von x, y^ yg, yg sind.
Wir finden somit, daß, wenn in einer mit Adjungierung von
Y Yi- y*2i Y3 irreduktibeln algebraischen Gleichung alle Lösungen
lineare homogene Funktionen mit konstanten Koeffizienten von
zweien derselben sind, die lineare homogene Differentialgleichung
2ter Ordnung, welche die beiden letzteren zu Fundamentalintegralen
hat, Koeffizienten besitzt, welche, ebenso wie die Koeffizienten
der algebraischen Gleichung rationale Funktionen von x, y^ yg, yg
sindO- Wenn daher im Falle 3. die lineare Differentialgleichung
3ter Ordnung durch die Lösungen einer mit Adjungierung von
x, Yi, Yg, Ys irreduktibeln algebraischen Gleichung befriedigt wird,
in welcher sämtliche Lösungen lineare homogene Funktionen von
zweien derselben sind, so werden auch die sämtlichen Lösungen
der algebraischen Gleichung in u einer homogenen linearen Dif-
ferentialgleichung 2ter Ordnung
u" + Yiu' + YgU = 0
i) Wir können diese Bemerkung in folgender Weise verallgemeinern:
Wenn eine lineare homogene Differentialgleichung pW Ordnung, deren
Koeffizienten algebraische Funktionen yg, y3, . - - von x sind, ein alge-
braisches Integral besitzt welches die Lösung einer mit Adjungierung von
x, yi, y2, Y3, - - - irreduktibeln algebraischen Gleichung ist, so sind bekannt-
lich sämtliche Lösungen dieser Gleichung Integrale jener Differentialgleichung
^ter Ordnung; aber es werden auch umgekehrt, wenn sämtliche Lösungen
einer algebraischen Gleichung, deren Koeffizienten von x und algebraischen
Funktionen y^, yg, y3, . . . von x rational abhängen, einer linearen homogenen
Differentialgleichung genügen, die Koeifizienten dieser rationale Funktionen
von x, y^ yg, yg, . . . sein -—- vorausgesetzt, daß die Ordnung der Differential-
gleichung den Grad der algebraischen Gleichung in u nicht übersteigt.