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https://doi.org/10.11588/diglit.34794#0008
8 (A. 11)
L. Koenigsberger:
Wir haben somit nur noch den Fall
4. zu behandeln, in welchem die Differentialgleichung
u " + yiu" + ygu + ygu - 0
drei algebraische Fundamentalintegralc besitzt, in welchen also,
wenn diese u^ Vi, Wi sind,
(9)
Ul Ul Ul
Vi Y^ Y^
w, w, w.
= w
ce
als algebraische Funktion von x die Form hat
W = R(x,y,)F
worin R eine rationale Funktion bedeutet.
Seien nun Ui, Vi, Wi Lösungen der drei mit Adjungierung von
x, Yi, Y2i Y3; W irreduktibeln Gleichungen
(10)
+ Pi (x,yi,y2,y3'W)ir-t+ ..
- =0
+ ci(x,yi,y2,y3'W)^** + - -
. =0
+ A^yiOWs/wjwP** + ..
. = 0,
worin die p, o, T rationale Zusammensetzungen der eingeschlossenen
Größen bedeuten, so werden wieder sämtliche Lösungen dieser
drei Gleichungen Integrale der Differentialgleichung 3*er Ordnung
sein. Nehmen wir zunächst an, daß die Lösungen je einer der
drei Gleichungen sich nur um multiplikatorische Konstanten unter-
scheiden, daß also Ui, Yi, Wi Lösungen der binomischen Glei-
chungen sind
(11)
= p(x,yi,y2,ys/W)
W =c(x,yi,y2,yg,W)
wP =T(x,yi,y2,yg,W) ,
die mit Adjungierung der angegebenen Größen irreduktibel sein
sollten, so wird die Determinante (9) der Differentialgleichung
3ter Ordnung, wie durch Substitution unmittelbar zu ersehen, die
Beziehung liefern
L. Koenigsberger:
Wir haben somit nur noch den Fall
4. zu behandeln, in welchem die Differentialgleichung
u " + yiu" + ygu + ygu - 0
drei algebraische Fundamentalintegralc besitzt, in welchen also,
wenn diese u^ Vi, Wi sind,
(9)
Ul Ul Ul
Vi Y^ Y^
w, w, w.
= w
ce
als algebraische Funktion von x die Form hat
W = R(x,y,)F
worin R eine rationale Funktion bedeutet.
Seien nun Ui, Vi, Wi Lösungen der drei mit Adjungierung von
x, Yi, Y2i Y3; W irreduktibeln Gleichungen
(10)
+ Pi (x,yi,y2,y3'W)ir-t+ ..
- =0
+ ci(x,yi,y2,y3'W)^** + - -
. =0
+ A^yiOWs/wjwP** + ..
. = 0,
worin die p, o, T rationale Zusammensetzungen der eingeschlossenen
Größen bedeuten, so werden wieder sämtliche Lösungen dieser
drei Gleichungen Integrale der Differentialgleichung 3*er Ordnung
sein. Nehmen wir zunächst an, daß die Lösungen je einer der
drei Gleichungen sich nur um multiplikatorische Konstanten unter-
scheiden, daß also Ui, Yi, Wi Lösungen der binomischen Glei-
chungen sind
(11)
= p(x,yi,y2,ys/W)
W =c(x,yi,y2,yg,W)
wP =T(x,yi,y2,yg,W) ,
die mit Adjungierung der angegebenen Größen irreduktibel sein
sollten, so wird die Determinante (9) der Differentialgleichung
3ter Ordnung, wie durch Substitution unmittelbar zu ersehen, die
Beziehung liefern