Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die Form algebraischer Integrale linearer Differentialgleichungen. (A. 11) 9
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(12) = UiViWi- P(x,yi,y2,yg,W) ,
worin P eine rationale Funktion bedeutet.
Da aber, wenn zwei binomische Gleichungen
z* = r (x, yi,y2, yg,W), z^- = s (x, y^,y^, yg,W),
in denen r und s rationale Funktionen der eingeschlossenen Größen
darstellen, eine gemeinsame Lösung Zi besitzen, dann auch Zi einer
gleichartigen binomischen Gleichung
z^ = t(x,yi,y2,yg,W)
genügt, worin d der größte gemeinschaftliche Teiler von x und X
ist, so folgt, daß, weil die Gleichung X^^ Grades irreduktibel sein
sollte, unter der Annahme x >X, x durch X teilbar sein muß, was
auch so ausgesprochen werden kann: die binomische Gleichung
xten Grades ist stets mit Adjungierung von x, yi, y^, yg, W irreduk-
tibel, wenn x eine Primzahl Ft, und für eine zusammengesetzte
Zahl x nur dann reduktibel, wenn sie mit einer gleichartigen bi-
nomischen Gleichung, deren Grad ein Teiler von x ist, eine Lösung
gemein hat. Und hieraus ergibt sich eine Beziehung zwischen den
Gradzahlen der Gleichungen (11), welche als irreduktibel voraus-
gesetzt waren. Da nämlich aus (12) durch Potenzierung mit der
Zahl m n nach (11)
pmn
W"^ -
p" o*"
folgt, so wird mn durch p, und ebenso mp durch n, und np durch
m teilbar sein, welche Beziehung analog ist der in der oben erwähnten
Arbeit für binomische Integrale linearer Differentialgleichungen
2ter Ordnung gefundenen, wonach diese zu gleichen Gradzahlen
gehörten.
Da wir nun aus den oben angegebenen Gründen annehmen
dürfen, daß
W= R(x,y,)t
mit Adjungierung von x, yj, y^, yg irreduktibel ist, so werden,
wenn man mit 7] eine primitive Einheitwurzel bezeichnet, auch
die Lösungen der binomischen Gleichungen, in denen ?]W statt