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https://doi.org/10.11588/diglit.34794#0011
Die Form algebraischer Integrale linearer Differentialgleichungen. (A. 11) 11
((X—Kl) Ul + ß Vi — ßlWl ;= 0
ergeben würde. Da aber unter dieser Annahme alle andern
Lösungen der u-Gleichung, da sie der oben gemachten Voraus-
setzung wegen mit Ui und Ug kein Fundamental System bilden
sollten, lineare Funktionen dieser beiden Integrale mit konstanten
Koeffizienten sein müssen, so ist die Untersuchung auf den vorher
behandelten Fall 3. zurückgeführt, für welchen die Form der
u-Gleichung festgestellt wurde. Es bleibt somit zur Erledigung
des Falles 4. nur noch die Annahme übrig, d aß die drei algebraischen
Fundamentalintegrale Ui, Ug, U3 als Lösungen der mit Adjungieruug
von x, yi, ys, y3, W irreduktibeln Gleichung
(13) u"* + Pi (x, yg, yg,W) u^ * + - - - + p.i (x, yg, yg,W) - 0
angehören.
Nehmen wir zunächst an, daß pi (x, yi, yg, yg, W) von Null
verschieden, und somit diese Funktion ein in den bezeichneten
Größen rationales Iutegral der Differentialgleichung 3^r Ordnung
ist, so wird diese Annahme sich allgemein dem Falle unterordnen,
daß die Differentialgleichung 3*er Ordnung drei beliebige algebra-
ische Fundamentalintegrale Ui, u„ U3 besitzt, von denen mindestens
eines eine rationale Funktion von x, y^ yg, yg, W ist.
Sei Ui dieses rationale Integral, und macht man in der Dif-
ferentialgleichung 3*er Ordnung die Substitution
(14) u = u^zdx ,
so geht dieselbe in die Differentialgleichung 2ter Ordnung
(15)
Z +
+ Yi z
3u^' + 2yiu^ + ygui
-z = 0
Ui
über, deren Koeffizienten rationale Funktionen von x, yi, yg, yg, W
sind, und für welche die zugehörige Determinate Wi definiert ist
durch
(16) Wi = c
dx
den beiden algebraischen Integralen U2 und U3 entsprechend sind
vermöge der Substitution (14)
((X—Kl) Ul + ß Vi — ßlWl ;= 0
ergeben würde. Da aber unter dieser Annahme alle andern
Lösungen der u-Gleichung, da sie der oben gemachten Voraus-
setzung wegen mit Ui und Ug kein Fundamental System bilden
sollten, lineare Funktionen dieser beiden Integrale mit konstanten
Koeffizienten sein müssen, so ist die Untersuchung auf den vorher
behandelten Fall 3. zurückgeführt, für welchen die Form der
u-Gleichung festgestellt wurde. Es bleibt somit zur Erledigung
des Falles 4. nur noch die Annahme übrig, d aß die drei algebraischen
Fundamentalintegrale Ui, Ug, U3 als Lösungen der mit Adjungieruug
von x, yi, ys, y3, W irreduktibeln Gleichung
(13) u"* + Pi (x, yg, yg,W) u^ * + - - - + p.i (x, yg, yg,W) - 0
angehören.
Nehmen wir zunächst an, daß pi (x, yi, yg, yg, W) von Null
verschieden, und somit diese Funktion ein in den bezeichneten
Größen rationales Iutegral der Differentialgleichung 3^r Ordnung
ist, so wird diese Annahme sich allgemein dem Falle unterordnen,
daß die Differentialgleichung 3*er Ordnung drei beliebige algebra-
ische Fundamentalintegrale Ui, u„ U3 besitzt, von denen mindestens
eines eine rationale Funktion von x, y^ yg, yg, W ist.
Sei Ui dieses rationale Integral, und macht man in der Dif-
ferentialgleichung 3*er Ordnung die Substitution
(14) u = u^zdx ,
so geht dieselbe in die Differentialgleichung 2ter Ordnung
(15)
Z +
+ Yi z
3u^' + 2yiu^ + ygui
-z = 0
Ui
über, deren Koeffizienten rationale Funktionen von x, yi, yg, yg, W
sind, und für welche die zugehörige Determinate Wi definiert ist
durch
(16) Wi = c
dx
den beiden algebraischen Integralen U2 und U3 entsprechend sind
vermöge der Substitution (14)