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https://doi.org/10.11588/diglit.34794#0012
12 (A.11)
L. Koenigsberger:
(i7)
z
zwei algebraische Fundamentalintegrale der Differentialgleichung
2*er Ordnung (15).
Genügen z^ und Zg zwei binomischen Gleichungen x^n und
Xten Grades, so muß nach den in der oben bezeichneten Arbeit
für die Differentialgleichungen 2^** Ordnung ausgeführten Unter-
suchungen x = A sein; sind jedoch z^ und Zg Lösungen einer mit
Adjungierung von x, y*i, Vg, y3 und von W^, oder nach (16) von W
irreduktibeln Gleichung
so wird die Differentialgleichung 2^r Ordnung (15), wenn
Si (x, yi, y2, Y3, W) von Null verschieden ist, ein in x, yg, y3, W
rationales Integral z,, besitzen, und es wird das za diesem Integral
gehörige Fundamentalintegral
= <xZo + ßzo
z
nach dem ABELschen Satze ebenfalls in x, yi, yg, y3, W rational
sein. Es würde sich daher, da das allgemeine Integral von (15)
denselben Charakter hat, wegen der Irreduktibilität von (18) der
frühere Fall der binomischen Gleichungen für x A = 1 ergeben,
und somit nach (17) außer cp auch U2 und U3 in den bezeichneten
Größen rational sein, so daß wir somit für u^ Ug, U3 auf den früher
behandelten Fall von drei binomischen Gleichungen, hier vom
Iten Grade, zurüebgeführt werden. Ist jedoch in der Gleichung (18)
S](x, y^ V2, y3, W)=0, so hat, wie in meiner früheren Arbeit
gezeigt worden, die Differentialgleichung (15) überhaupt kein in
den bezeichneten Größen rationales Integral. Es wird sich
dann zwischen den beiden Integralen Zi und Zg der Differential-
gleichung (15) vermöge der Beziehung
(19)
Zg als rationale Funktion von Zi ergeben mit in x, y^ yg, y3, W
rationalen Koeffizienten, da Ui in diesen Größen rational voraus-
L. Koenigsberger:
(i7)
z
zwei algebraische Fundamentalintegrale der Differentialgleichung
2*er Ordnung (15).
Genügen z^ und Zg zwei binomischen Gleichungen x^n und
Xten Grades, so muß nach den in der oben bezeichneten Arbeit
für die Differentialgleichungen 2^** Ordnung ausgeführten Unter-
suchungen x = A sein; sind jedoch z^ und Zg Lösungen einer mit
Adjungierung von x, y*i, Vg, y3 und von W^, oder nach (16) von W
irreduktibeln Gleichung
so wird die Differentialgleichung 2^r Ordnung (15), wenn
Si (x, yi, y2, Y3, W) von Null verschieden ist, ein in x, yg, y3, W
rationales Integral z,, besitzen, und es wird das za diesem Integral
gehörige Fundamentalintegral
= <xZo + ßzo
z
nach dem ABELschen Satze ebenfalls in x, yi, yg, y3, W rational
sein. Es würde sich daher, da das allgemeine Integral von (15)
denselben Charakter hat, wegen der Irreduktibilität von (18) der
frühere Fall der binomischen Gleichungen für x A = 1 ergeben,
und somit nach (17) außer cp auch U2 und U3 in den bezeichneten
Größen rational sein, so daß wir somit für u^ Ug, U3 auf den früher
behandelten Fall von drei binomischen Gleichungen, hier vom
Iten Grade, zurüebgeführt werden. Ist jedoch in der Gleichung (18)
S](x, y^ V2, y3, W)=0, so hat, wie in meiner früheren Arbeit
gezeigt worden, die Differentialgleichung (15) überhaupt kein in
den bezeichneten Größen rationales Integral. Es wird sich
dann zwischen den beiden Integralen Zi und Zg der Differential-
gleichung (15) vermöge der Beziehung
(19)
Zg als rationale Funktion von Zi ergeben mit in x, y^ yg, y3, W
rationalen Koeffizienten, da Ui in diesen Größen rational voraus-