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https://doi.org/10.11588/diglit.34794#0015
Die Form algebraischer Integrale iinearer Differentialgleichungen. (A. 11) 15
(24) -^L=u*"' + p,
u—Ul
+ Px-2^1
+ U^'
(rU ^ + qi ! u^ ^
P)—2 Up
+ U^
sich ergeben; für den Fall der Reduktibihtät von f(u) =0 wird
also auch die Gleichung
u—Ui
mit Adjuugierung von Ui reduktibel sein, wenn Ui eine Lösung der
Gleichung f(u)=0 ist, und zwar so, daß die Koeffizienten des
einen Faktors außer den Größen pi, p^, . . . noch Ui rational ent-
halten, während der zweite Faktor von Ui unabhängig ist. Um-
gekehrt wird aber die Reduktibihtät der Gleichung (25) nicht die
von f(u) = 0 nach sich ziehen, oder es wird nicht aus der Irredukti-
bilität der letzteren Gleichung auf die von (25) geschlossen werden
können, wie schon aus der Existenz irreduktibler Gleichungen
ersichtlich ist, deren Lösungen rationale Funktionen einer der-
selben sind — immer vorausgesetzt, daß Ui der Eedingung unter-
hegt, eine Lösung der Gleichung f(u)=0 zu sein.
Habe nun die Gleichung (13) die Eigenschaft, daß ihre Lö-
sungen Integrale der Differentialgleichung 3^r Ordnung (1) sind,
von denen Ui, u^, Ug ein Fundamentalsystem bilden, also, wie oben
gezeigt worden, U3 eine rationale Funktion von x, yi, yg, yg, W, Ui, Ug
ist, so setze man, um die Natur dieser Gleichung festzustellen, wie
dies schon oben geschehen, wieder
u=UiJzdx,
so daß sich aus (1) die Differentialgleichung (15) ergibt, von wel-
cher ein Fundamentalsystem algebraischer Integrale Zi und z^
durch die Ausdrücke (17) gegeben ist.
(24) -^L=u*"' + p,
u—Ul
+ Px-2^1
+ U^'
(rU ^ + qi ! u^ ^
P)—2 Up
+ U^
sich ergeben; für den Fall der Reduktibihtät von f(u) =0 wird
also auch die Gleichung
u—Ui
mit Adjuugierung von Ui reduktibel sein, wenn Ui eine Lösung der
Gleichung f(u)=0 ist, und zwar so, daß die Koeffizienten des
einen Faktors außer den Größen pi, p^, . . . noch Ui rational ent-
halten, während der zweite Faktor von Ui unabhängig ist. Um-
gekehrt wird aber die Reduktibihtät der Gleichung (25) nicht die
von f(u) = 0 nach sich ziehen, oder es wird nicht aus der Irredukti-
bilität der letzteren Gleichung auf die von (25) geschlossen werden
können, wie schon aus der Existenz irreduktibler Gleichungen
ersichtlich ist, deren Lösungen rationale Funktionen einer der-
selben sind — immer vorausgesetzt, daß Ui der Eedingung unter-
hegt, eine Lösung der Gleichung f(u)=0 zu sein.
Habe nun die Gleichung (13) die Eigenschaft, daß ihre Lö-
sungen Integrale der Differentialgleichung 3^r Ordnung (1) sind,
von denen Ui, u^, Ug ein Fundamentalsystem bilden, also, wie oben
gezeigt worden, U3 eine rationale Funktion von x, yi, yg, yg, W, Ui, Ug
ist, so setze man, um die Natur dieser Gleichung festzustellen, wie
dies schon oben geschehen, wieder
u=UiJzdx,
so daß sich aus (1) die Differentialgleichung (15) ergibt, von wel-
cher ein Fundamentalsystem algebraischer Integrale Zi und z^
durch die Ausdrücke (17) gegeben ist.