Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

8 (A.12]

L. Koenigsberger:


ein in x rationales Integra! liefert, während alle anderen transzen-
dente Funktionen von x sind, oder
b) die Differentialgleichung (i) besitzt außer dem in x und z
rationalen Integrale noch ein algebraisches Integral y2, welches
1. einer binomischen, in x und z irreduktibeln algebraischen
Gleichung genügt; in diesem Falle wäre das Integral wieder
rational in x und z, wenn der Grad der binomischen Gleichung
der erste ist, oder, wenn von höherem Grade, so müßte



worin P eine rationale Funktion und c eine Einheitswurzel ist,
der Gleichung (1) genügen, und es würde sodann aus den beiden
Gleichungen
72 + Y2 + fiY2 + ^2 ^ 0 und cyg + cNg + cf^Vg + fg = 0
folgen, daß

c(c-l)y2 + (c-1) lg - 0

ist, so daß die binomische irreduktible Gleichung vom zweiten
Grade wäre, und sich außer dem rationalen Integrale yi entweder
noch ein rationales Integral ergibt, während die anderen sämtlich
transzendent sein können, oder noch zwei algebraische Integrale
von der Form

y2 = +l/l*2,

so daß dann wieder sämtliche Integrale der RiccATischen Dif-
ferentialgleichung algebraisch sind. So würde die Gleichung


l + 4x^ l + 2x

2x —4x^^ 2x —4x^

für welche die zugehörige Differentialgleichung zweiter Ordnung