Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

10 (A.12)

L. Koenigsberger:

Hat aber die Differentialgleichung (3)
III. zwei algebraische Fundamentalintegrale ^ und Ug, so
werden jedenfalls sämtliche Integrale der Differentialgleichung (1)
vermöge der Beziehung
Ui + XUg
Ui + XUg
algebraisch sein, und es handelt sich jetzt nur noch darum, die Form
der algebraischen Funktionen näher zu bestimmen. Zunächst ist
leicht ersichtlich, daß in diesem Falle die Beziehung zwischen den
Integralen der Differentialgleichungen (1) und (3)
(10) Y -


auch noch in wesentlich anderer Form dargestellt werden kann;
bemerkt man nämlich, daß der Voraussetzung gemäß das all-
gemeine Integral u von (3) eine algebraische Funktion ist, welche
einer mit Adjungierung von x und z irreduktibeln Gleichung ge-
nügen möge, und daß nach (10) das allgemeine Integral y der Dif-
ferentialgleichung (I) eine rationale Funktion von u mit in x und z
rationalen Koeffizienten ist, so folgt aus der Beziehung
logu-/vdx
nach dem AßELSchen Satze über die durch Logarithmen algebra-
ischer Funktionen darstellbaren AßELschen Integrale, daß
(11) u = r(x,z,y)^,

worin r eine rationale Funktion und eine positive ganze Zahl
bedeutet, so daß (11) die inverse Beziehung von (10) darstellt.
In diesem Falle gehört also zu jedem algebraischen Integrale von (1)
ein bestimmtes algebraisches Integral u der Differentialgleichung (3),
dem eine bestimmte rationale Funktion r und ein bestimmter
Wurzelindex entspricht, so daß sich die Beziehung

r x,z,y K =ctri x,z,yi <-- + Csi-

x,yj''"

ergibt.