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https://doi.org/10.11588/diglit.34797#0014
14 (A.-12)
L. Koenigsberger:
ten Funktionen einer in x, z, w, u rationalen Basis F(u) ordnen
lassen, worin für das Anfangsglied u einer jeden Gruppe
(u) = u
ist, wenn A"*'(u) die m^fach iterierte F-Funktion bedeutet.
Es folgt somit, daß, wenn die Lösungen der Gleichung (16)
nur eine Gruppe bilden — was, wenn der Grad derselben eine
Primzahl ist, stets der Fall sein wird —, das allgemeine Integral
der Differentialgleichung (3) von der Form ist
(17) U = CiGi^X,zj"^ + C2G2^X,Z
worin Gi und Gg rationale Funktionen bedeuten und v die Irratio-
nalität von w definiert. Das allgemeine Integral der RiccATischen
Differentialgleichung (1) wird somit nach (10) durch den Ausdruck
dargestellt
}/ Gi + c ]/ Gg
so daß, wie sich aus den Gleichungen (14)—(18) ergibt, die Form
der algebraischen Integrale der Differentialgleichung (1) dieselbe
bleibt für die Fälle, daß die Differentialgleichung zweiter Ordnung
(3) ein in x, z, w rationales und somit nur solche Integrale besitzt,
wie für den Fall, daß die Lösungen der algebraischen Gleichung
(16) nur eine Gruppe bilden, wenn nur in (17) und (18) m =1
gesetzt wird.
Zerfallen die Lösungen der Gleichung (16) jedoch in mehrere
Gruppen, und schließt man die Fälle aus, in denen die Summe der
Elemente in den nach der AßELschen Methode reduzierten Grup-
pen verschwindet, oder anders ausgesprochen, nimmt man an.
daß, wenn d^ dg, d3, ... die sämtlichen Divisoren der Zahl m — diese
selbst ausgeschlossen — bedeuten, keine der Summen von je
di, dg, dg, ... Lösungen der Gleichung (16) verschwindet, so ließ
sich zeigen, daß im allgemeinen die Gleichung (16), deren Lösungen
Integrale der Differentialgleichung (3) sein sollten, durch Wurzel-
L. Koenigsberger:
ten Funktionen einer in x, z, w, u rationalen Basis F(u) ordnen
lassen, worin für das Anfangsglied u einer jeden Gruppe
(u) = u
ist, wenn A"*'(u) die m^fach iterierte F-Funktion bedeutet.
Es folgt somit, daß, wenn die Lösungen der Gleichung (16)
nur eine Gruppe bilden — was, wenn der Grad derselben eine
Primzahl ist, stets der Fall sein wird —, das allgemeine Integral
der Differentialgleichung (3) von der Form ist
(17) U = CiGi^X,zj"^ + C2G2^X,Z
worin Gi und Gg rationale Funktionen bedeuten und v die Irratio-
nalität von w definiert. Das allgemeine Integral der RiccATischen
Differentialgleichung (1) wird somit nach (10) durch den Ausdruck
dargestellt
}/ Gi + c ]/ Gg
so daß, wie sich aus den Gleichungen (14)—(18) ergibt, die Form
der algebraischen Integrale der Differentialgleichung (1) dieselbe
bleibt für die Fälle, daß die Differentialgleichung zweiter Ordnung
(3) ein in x, z, w rationales und somit nur solche Integrale besitzt,
wie für den Fall, daß die Lösungen der algebraischen Gleichung
(16) nur eine Gruppe bilden, wenn nur in (17) und (18) m =1
gesetzt wird.
Zerfallen die Lösungen der Gleichung (16) jedoch in mehrere
Gruppen, und schließt man die Fälle aus, in denen die Summe der
Elemente in den nach der AßELschen Methode reduzierten Grup-
pen verschwindet, oder anders ausgesprochen, nimmt man an.
daß, wenn d^ dg, d3, ... die sämtlichen Divisoren der Zahl m — diese
selbst ausgeschlossen — bedeuten, keine der Summen von je
di, dg, dg, ... Lösungen der Gleichung (16) verschwindet, so ließ
sich zeigen, daß im allgemeinen die Gleichung (16), deren Lösungen
Integrale der Differentialgleichung (3) sein sollten, durch Wurzel-