Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die algebraischen Integrale der Riccatischen DifferenLiaigleichung. (A. 12) 15

Zeichen auflösbar sein wird, und daß dann das allgemeine Integral
dieser Differentialgleichung, sowie das der RiccATischen Dif-
ferentialgleichung (1) wieder die Form (17) und (18) annehmen wird.
Sehen wir nunmehr davon ab, unter welchen Bedingungen
die Gleichung (16), welche das Fundamentalsystem von Integralen
Ui, Ug der Differentialgleichung (3) zu Lösungen hat, durch Wurzel-
zeichen auflösbar ist, und stellen mit dieser die aus der Beziehung
(2) mit Hilfe von (16) sich ergebende Gleichung
(19) y = t. (x, z, w) + R (x, z, w) u + - - - + t^ (x, z, w) u^ ,
in welcher R,t^, rationale Funktionen bedeuten, zusam-
men, so werden wir eine algebraische Gleichung nW** Grades in y
erhalten
(20) y" + ri (x, z, w) y"*^ + - - - + r^ (x, z, wj = 0 ,

in welcher iy, rg,... rationale Funktionen sind, und welche die
Lösungen yi und yg besitzt, welche durch (4) definiert sind, wäh-
rend alle anderen Lösungen von (20) ebenfalls Integrale der Ric-
CATischen Differentialgleichung (1) sind.
Um nun die Beziehungen zwischen den beiden Lösungen
yi und yg der Gleichung (20) zu ermitteln, bemerke man, daß
sich aus den Gleichungen
logrR=jy^dx, logug-jy^dx
nach dem ABELSchen Satze die Ausdrücke

(21)

Ul - Ri x,z,w,yi

Uz = Rz x,z,w,yg

ergeben, worin Ri und Rg rationale Funktionen der eingeschlos-
senen Größen bedeuten. Substituiert man diese Werte von CR
und Ug in die Gleichung (8), so erhält man die gesuchte algebraische
Beziehung zwischen den beiden Lösungen yi und yg der Gleichung
(20) in der Form

(22)

Yz = Yi + c

w

i / U '
Ri(x,z,w,yi p - Rg x,z,w,yg