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https://doi.org/10.11588/diglit.34797#0020
20 (A.12)
L. Koenigsberger:
Da aber die Gleichung (30) vermöge (31) in
K (X
-5/7
-5/7
+ X
3/7j
(x-
-Lß)x-'"-
+ X
-3/7\
-3/7
—5/7 —3/7
X + X
übergeht, 'worin <x und ß beliebige Konstanten sind, so besitzt die
Differentialgleichung (28) die beiden Fundamentalintegrale
m = x
-5/7
und
u, = x
-3/7
und somit die RiccATische Differentialgleichung (27) die Integrale
5 1 3 1
Yi
7 x ' ^ 7 x
und nach (4) das allgemeine Integral
1 5 + 3xx
2/7
^ 7 3,2/7
' 1 + XX
also nur algebraische Integrale, von denen zwei rational sind.
Daß die algebraische Gleichung, von welcher
-5/7 —3/7
Ui = X
+ X
eine Lösung ist, und welche sich, wie leicht zu sehen, in der Form
ergibt
(32)
x^u' — L x^ u^ — F xGF — L x u — 1 =0
mit Adjungierung von x irreduktibel ist, geht aus der Gestalt der
Lösungen derselben unmittelbar hervor; setzt man diese jedoch
nicht als bekannt voraus, und will die Irreduktibilität aus der
Verzweigung der RiEMANNschen Fläche der Gleichung (32) er-
schließen, so wird man zunächst, da sich für x = 0 u = oo ergibt,
die Substitution
(33) u = ä
zu machen haben. Da die sich so ergebende Gleichung
L. Koenigsberger:
Da aber die Gleichung (30) vermöge (31) in
K (X
-5/7
-5/7
+ X
3/7j
(x-
-Lß)x-'"-
+ X
-3/7\
-3/7
—5/7 —3/7
X + X
übergeht, 'worin <x und ß beliebige Konstanten sind, so besitzt die
Differentialgleichung (28) die beiden Fundamentalintegrale
m = x
-5/7
und
u, = x
-3/7
und somit die RiccATische Differentialgleichung (27) die Integrale
5 1 3 1
Yi
7 x ' ^ 7 x
und nach (4) das allgemeine Integral
1 5 + 3xx
2/7
^ 7 3,2/7
' 1 + XX
also nur algebraische Integrale, von denen zwei rational sind.
Daß die algebraische Gleichung, von welcher
-5/7 —3/7
Ui = X
+ X
eine Lösung ist, und welche sich, wie leicht zu sehen, in der Form
ergibt
(32)
x^u' — L x^ u^ — F xGF — L x u — 1 =0
mit Adjungierung von x irreduktibel ist, geht aus der Gestalt der
Lösungen derselben unmittelbar hervor; setzt man diese jedoch
nicht als bekannt voraus, und will die Irreduktibilität aus der
Verzweigung der RiEMANNschen Fläche der Gleichung (32) er-
schließen, so wird man zunächst, da sich für x = 0 u = oo ergibt,
die Substitution
(33) u = ä
zu machen haben. Da die sich so ergebende Gleichung