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https://doi.org/10.11588/diglit.34636#0007
Über konvergente Matrixprodukte. (A. 4) 7
so ist ebenfalls positiv, und aus (5.) folgt:
(7.) (^=1,2, ...m).
nb + i) "
^ ^D+i) Zjnb) ?'.*
(3,7b = l,2, ...?a).
Führt man weiter für 7 = 1, 2, ... M — 1 die Abkürzungen
M F^^ / \
ü - ßf.
r = l
ein, so erkennt man aus (7.) und (8.):
'" -** F.j,^ j.
it
AV +1)
^
^ßf' k:i=ßf'
r = 1
xj/l. = 7?!'^.
Daher auch, da dies für % = 1, 2,... % gilt:
ß(v) <( ßh + i) < +^) <
Hieraus folgt nun, daß die Grenzwerte
lim ß^) = ßi, lim = -B,-
existieren, und zwar ist ß^ ^
Die Konvergenz des Produktes ist nun offenbar gleich-
v=o
bedeutend damit, daß ß; = T?%ist für 7= 1,2, - --^—1, und zwar
ist dann:
A — ßi - ßg - ... : ß^—1 : 1 -
Setzt man jetzt
so ist wegen (7.) gewiß (?v ^ und außerdem folgt aus (7.) und (8.):
so ist ebenfalls positiv, und aus (5.) folgt:
(7.) (^=1,2, ...m).
nb + i) "
^ ^D+i) Zjnb) ?'.*
(3,7b = l,2, ...?a).
Führt man weiter für 7 = 1, 2, ... M — 1 die Abkürzungen
M F^^ / \
ü - ßf.
r = l
ein, so erkennt man aus (7.) und (8.):
'" -** F.j,^ j.
it
AV +1)
^
^ßf' k:i=ßf'
r = 1
xj/l. = 7?!'^.
Daher auch, da dies für % = 1, 2,... % gilt:
ß(v) <( ßh + i) < +^) <
Hieraus folgt nun, daß die Grenzwerte
lim ß^) = ßi, lim = -B,-
existieren, und zwar ist ß^ ^
Die Konvergenz des Produktes ist nun offenbar gleich-
v=o
bedeutend damit, daß ß; = T?%ist für 7= 1,2, - --^—1, und zwar
ist dann:
A — ßi - ßg - ... : ß^—1 : 1 -
Setzt man jetzt
so ist wegen (7.) gewiß (?v ^ und außerdem folgt aus (7.) und (8.):