Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Der von ÄBEL aufgestellte Satz, daß jedes algebraisch aus-
drückbare Integral einer algebraischen Funktion y von x sich als
rationale Funktion von x und y darstellen läßt, konnte dahin
verallgemeinert werden, daß, wenn eine lineare Differential-
gleichung
d" u d""* u

dx"

Yi

dx

n—1

YnU = y

in welcher y^ yg, . . , y^, y beliebige algebraische Funktionen
von x bedeuten, ein algebraisches Integral besitzt, auch ein in
x, Yn Y2i - - i Ym Y rational ausdrückbares Integral existiert, und
daß ferner dieses Integral selbst in den bezeichneten Größen
rational darstellbar ist, wenn angenommen wird, daß die redu-
zierte homogene Differentialgleichung
d"u d^u
kein algebraisches Integral besitzt. Ich will hier noch bemerken,
daß diese letztere Eigenschaft auch dann noch dem in x, y^, . . , y^, y
algebraischen Integrale zukommen wird, wenn die reduzierte
homogene Differentialgleichung nur in diesen Größen rational
ausdrückbare algebraische Integrale besitzt, da zwei Lösungen
der mit Adjungierung von x, y^, . . , y„, y als irreduktibel an-
genommenen algebraischen Gleichung der nicht homogenen Diffe-
rentialgleichung, also ihre Differenz der reduzierten homogenen
Differentialgleichung genügen würde, und somit der Voraussetzung
nach in x und den y rational wäre, was dem Charakter der Irreduk-
tibilität algebraischer Gleichungen widerspricht, wenn nicht der
Grad derselben der erste ist.
Es folgt somit, daß, wenn die nicht homogene Differential-
gleichung ein algebraisches Integral besitzt, dieses rational in x
und den y ausdrückbar ist, wenn die reduzierte homogene Diffe-
rentialgleichung entweder gar kein algebraisches Integral besitzt,
oder diese sämtlich in x, y^ . ., y„, und y rational ausdrückbar sind.

1*