Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

4 (A.6)

L. Koenigsberger:

Der zweite von ABEL bewiesene Fundamentalsatz, daß,
wenn das Integra! einer algebraischen Funktion y von x sich
durch den Logarithmus einer algebraischen Funktion von x aus-
drückt, sich ein ganzes Vielfaches jenes Integrales als Logarithmus
einer in x und y rationalen Funktion darstellen läßt, wurde von
ihm aus der Überlegung hergeleitet, daß, wenn
y ydx = log Ui
und Ui die Lösung einer mit Adjungierung von x und y irreduk-
tibeln algebraischen Gleichung Grades ist, auch jede Lösung
u^ derselben jener Gleichung genügt, und somit
v/ydx = ^ log u^ ='log rhux = log v
ist, worin v als letztes Glied der algebraischen Gleichung in u
rational in x und y ausgedrückt ist — und wie hier mit Hilfe des
Funktionaltheorems der Logarithmen, leitet ÄBEL auf Grund
des Additionstheorems der elliptischen und ABELschen Integrale
die analogen Sätze allgemein für die Integrale algebraischer
Funktionen her.
In etwas veränderter Form läßt sich der Beweis des ABEL-
schen Satzes auch dadurch führen, daß sich alle Integrale der
linearen homogenen Differentialgleichung


also auch alle Lösungen der mit Adjungierung von x und y irreduk-
tibeln algebraischen Gleichung in u nur um multiplikatorische
Konstanten unterscheiden können, diese Gleichung also eine bino-
mische von der Form
u"=R(x,y)
oder
u,= R(x,yp
sein muß, worin R eine rationale Funktion von x und y ist. Der
ABELsche Satz sagt somit nichts anderes aus, als daß, wenn die
obige Differentialgleichung ein in x algebraisches Integral besitzt,
die Integrale der Differentialgleichung