Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über den Abelschen Fundamentalsatz der Integralrechnung II. (A. 6) 5

du
-vpu=0
dx
für eine bestimmte positive ganze Zahi v durch den in x und y
rationalen Ausdruck
u = cR(x,y)
dargestellt sind, worin c die Integrationskonstante bedeutet.
Die Ausdehnung des ABELSchen Satzes von der logarithmischen
Integration algebraischer Funktionen würde sich somit auf die
direkte Untersuchung der algebraischen Integrale linearer homo-
gener Differentialgleichungen reduzieren, die wir im folgenden
ohne Zuhilfenahme funktionentheoretischer Betrachtungen für
lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf
rein algebraischem Wege durchführen wollen. Es möge nur noch
hervörgehoben werden, daß ABEL sich nicht die Frage stellte, wie
die algebraische Funktion beschaffen sein müsse, damit ihr Integral
der Logarithmus einer algebraischen Funktion ist, sondern, wenn
die Reduktion möglich ist, wie der Logarithmand beschaffen
sein müsse -— und so soll im folgenden nicht die Frage erörtert
werden, wann die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung
ein oder zwei algebraische Integrale besitzt, sondern es soll die
Natur der algebraischen Integrale untersucht werden, wenn deren
Existenz vorausgesetzt wird.
Sei die lineare homogene Differentialgleichung gegeben
d^u . . du , .
(1) + Pi(*,y) -^ + P2<x,y)u = 0 ,
in welcher p^ und pg rationale Funktionen von x und y sind, und
y die Lösung einer mit Adjungierung von x irreduktibeln Glei-
chung ist,
(2) y^ + (x) y^-* + .. . + (x) = 0 .
Besitzt diese Differentialgleichung zwei transzendente Funda-
mentalintegrale Vi und Vg, so wird nur dann irgend ein anderes
Integral eine algebraische Funktion V von x sein können, wenn
eine Relation von der Form besteht
RiU + agVg = V ,
worin ai und a^ Konstanten bedeuten, in welchem Falle
aber auch v^ und V als Fundamentalintegrale betrachtet werden