Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

(A.6)

L. Koenigsberger:

dürfen; wir werden also unmittelbar auf den sogleich zu behan-
delnden Fall geführt, in welchem eine transzendente und eine
algebraische Funktion ein Fundamentalsystem von Integralen
bilden.
Werde nunmehr angenommen, daß die Differentialgleichung (1)
ein transzendentes Integral v und ein als Lösung der mit Adjun-
gierung von x und y irreduktibeln Gleichung
(3) u^ + Ri (x,y) u^ + - - - + (x,y) = 0
definiertes, algebraisches Integral ry besitzt, so werden zunächst
wieder, da die Ableitungen der Lösungen der Gleichung (3) rationale
Funktionen der resp. Lösung Ui sowie von x und y sind, alle
Lösungen von (3) Integrale von (1) sein. Da aber zwei dieser
Lösungen nicht ein Fundamentalsystem bilden können, weil sich
sonst das als transzendent vorausgesetzte Integral v additiv mit
konstanten Koeffizienten aus diesen beiden algebraischen Funda-
mentalintegralen zusammensetzen ließe, so werden sich alle
Lösungen der Gleichung (3) nur durch multiplikatorische Kon-
stanten unterscheiden dürfen, die Gleichung also vermöge der
Voraussetzung der Irreduktibilität die Form haben
(4) rF=R(x,y)
und somit das allgemeine Integral der Differentialgleichung (1)
durch den Ausdruck gegeben sein
y
u = CiV + CsR(x,y)^ ,
worin R eine rationale Funktion von x und y bedeutet.
Hat dagegen die Differentialgleichung (1) zwei algebraische
Fundamentalintegrale u^ und Vi, so ist
, , -fpi(x,v)dx
UFR —Viry = e =w
eine algebraische Funktion von x, und weil

so ist, wie oben gezeigt worden,
w = R(x,y)L