Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über den Abelschen Fundamentalsatz der Integralrechnung II. (A. 6) 7

worin R eine rationale Funktion von x und y, und v eine positive
ganze Zahl ist; für v = l ist w selbst in x und y rational.
Genügen nun Ui und Vi den beiden mit Ad j ungierung von x, y, w
irreduktibeln Gleichungen
(5) u* + Si (x, y, w) U*"* + - - - + Sx (x, y, w) - 0
und

(6) \A + Ci(x,y,w)v^ ^ + ... + c^(x,y,w)-0,
in denen die s und o rationale Funktionen von x, y, w sind, und
nehmen wir zunächst an, daß keine der Lösungen der Gleichung (5)
mit Ui, und keine der Lösungen der Gleichung (6) mit Vi ein Funda-
mentalsystem von Integralen bilden, so werden sich sämtliche
Lösungen je einer Gleichung nur um multiplikatorische Konstanten
unterscheiden und die beiden Gleichungen somit die binomische
Form haben

(7) u* - ri(x,y,w) , v^ = A(x,y,w) ,

worin ri und Tg rationale Funktionen von x, y, w sind.
Da nun für die beiden Fundamentalintegrale Ui und Vi die
Beziehung besteht

Vi = KUi + ßUi

' wdx

oder

y
UFA - VDA = ßw = ß R (x,y)v ,

so folgt aus den binomischen Gleichungen (7)

—-L) = ßw

oder

(8) Ui-iy = p(x,y,w),
worin p eine rationale Funktion von x, y, w ist.
Nun folgt aus (8), daß
x p*(x,y,w) x p^(x,y,w)
Vi — 7 w ? 'h — 7 x- ,
ri(x,y,"j A(x,y,w)
und daher vermöge der Irreduktibilität der Gleichungen (7)