Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über den Abelschen Fundamentalsatz der Integralrechnung II. (A. 6) 9

so würde, weil die Gleichung
w'"=R(x,y)
als irreduktibel vorausgesetzt werden durfte, c = 7]^ oder
H (x,y,w) - g^(x,y)w^
sein, so daß sich
i-h = (g^(x,y)w^^ = (g^(x,y)" R(x,y)^
ergibt, worin die Irrationalität mit Adj ungierung von x, y, w
irreduktibel ist.
Hat nun rg dieselbe Form wie iy, so ergibt sich das allgemeine
Integral der Differentialgleichung in der Form
u = G (g^(x,y)w^* + C2^hp(x,y)wpj" ,
oder
u = Ci ^ (x,y)'" R (x,y)^ + Cg ^ (x,y)' R (x,y)?j^ ,
worin die Radikanden rationale Funktionen von x, y und die
Irrationalitäten mit Adjungierung von x, y, w irreduktibel sind.
Bilden jedoch —was sogleich als unstatthaft erwiesen werden
soll — Ui und Ug ein Fundamentalsystem von Integralen, ist also
Ug = C1U1 + CgVi ,
so folgt hieraus
UiUg - Ui(CiUi + CgVi) = P(x,y,w) ,
worin P eine rationale Funktion bedeutet, oder nach (8)
u! = Pi (x, y,w) ,
so daß die beiden binomischen Gleichungen (9) in
^ = Pi (x, y, w) , v^ = Pg (x, y, w)
übergehen, in denen Pi und Pg rationale Funktionen der ein-
geschlossenen Größen bedeuten.
Aber es läßt sich auch leicht die Form der in x, y, w rationalen
Funktion P daraus erkennen, daß, wie oben erwiesen, der durch
Substitution von */]W statt w aus Ui hervorgehende Ausdruck