Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

12 (A. 6)

L. Koenigsberger:

Sei Ui ein zu einem rationalen Integrale r(x,y,w) gehöriges
algebraisches Fundamentalintegral, so folgt aus

Ui = ar (x,y,w) + ßr (x,y,w)

wdx

r(x,y,w)3 '

daß, weil auch die Quadratur eine algebraische Funktion von x
sein soll und sich diese somit nach dem ersten ÄBELSchen Funda-
mentalsatz als rationale Funktion von

x und

w
r (x, y, w)s

darstellen läßt, selbst wieder und daher auch das allgemeine
Integral in x, y, w rational sein wird; es folgt zugleich, daß die
algebraische Gleichung in Ui eine lineare sein muß, da sie mit Adjun-
gierung von x, y, w als irreduktibel vorausgesetzt war.
Alan kann aber die Form der in x, y, w rationalen Integrale
genauer bestimmen. Sei nämlich

U = 1*0 (x,y) + R (x,y) w + .. . + r„_i (x, y) w'" * ,
so werden auch alle hieraus hervorgehenden Ausdrücke, die man
erhält, wenn 7]W statt w substituiert wird, worin 7) eine Ae Ein-
heitswurzel ist, Integrale der Differentialgleichung sein und somit
auch ein partikuläres Integral von der Form existieren
v_
Ui = ^ (x, y) = ]/r^(x,y)vR(x,y)^ ,
so daß für den Fall, daß die Differentialgleichung ein in x, y, w
rationales Integral besitzt und die irreduktible Irrationalität
w = R (x,y^
gesetzt und bemerkt wird, daß die rechte Seite des oben
aufgestellten Ausdruckes für u, der Differentialgleichung zwei-
ter Ordnung wegen, nur aus einem oder zwei linear voneinander
unabhängigen Posten bestehen kann, sich das allgemeine Integral
in der Form ergibt
v_v_
u = G ]/Pi (x,y) + Cg [ Pg (x,y) ,
worin P^ und Pg rationale Funktionen bedeuten.