Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über den Abelschen Fundamentalsatz der Integralrechnung II. (A. 6) 13

Ist dagegen in der Gleichung (5)
II. Si(x,y,w) = 0,
so ist zunächst unmittelbar zu sehen, daß die Differentialgleichung
kein in x, y, w rationales Integral haben kann, wenn die Gleichung (5)
nicht wieder eine binomische ist. Denn besäße diese ein solches,
das mit r (x,y,w) bezeichnet werden möge, so würde jede andere
Lösung Ug der Gleichung (5), da sie auch ein Integral der Differential-
gleichung ist, durch
ih = xr(x,y,w) + ßui
dargestellt sein, worin <x und ß Konstanten bedeuten, und daher
zugleich mit der irreduktibeln Gleichung

u^+S2(x,y,w)uj< 2+-
-' + Sx(x,y,w) = 0
auch die Gleichung bestehen
(xr (x,y, w) + ßui) + Sg(x,y, w) (ar(x,y,
wj + ßui) -1-!-Sx(:

aus denen sich die Beziehung ergibt
xar(x,y,w)ß +-.. + s^(x,y,w)(l-ß^ = 0,
und somit vermöge der Irreduktibilität von (5)
, x-l
xKr(x,y,w)ß =0.
* Da nun für ß = 0 das Integral Ug in x, y, w rational, also die
Gleichung (5) nicht irreduktibel wäre, so muß <x = 0, also Ug = ßu^
sein. Es wäre somit, da dies für alle Lösungen der Gleichung (5)
gälte, die Existenz eines in x, y, w rationalen Integrales nur dann
möglich, wenn die Gleichung (5) gegen unsere Annahme eine
binomische wäre. Wir haben somit nur noch den Fall zu betrachten,
in welchem die Differentialgleichung kein in x, y, w rationales
Integral besitzt und somit zwei Lösungen u^ und Ug der mit Adjun-
gierung von x, y, w irreduktibeln, nicht binomischen Gleichung
(10) U* + Sg (x, y, w) rü"3 + .. . + (x, y, "0 = 0
ein Fundamentalsystem algebraischer Integrale bilden.