Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

14 (A.6)

L. Koenigsberger:

Da nun nach dem ersten ÄBELschen Fundamentalsatz die
in dem algebraischen Integrale
/*wdx

Ur, = KUl

enthaltene Quadratur eine rationale Funktion von x, y, w und u^
ist, so kann man für einen bestimmten Wert von w bei fest
gewählten K und ß
f wdx
/ —y- = r(x,y,wWi)

setzen, worin r eine rationale Funktion der eingeschlossenen Größen
bedeutet und ^ ein Wert von x ist, für den
r(x,y,w,ui)^ = 0
wird. Es wird daher
Us = xui + ßuir(x,y,w,uj
sein, worin, in Abkürzung geschrieben,
2 dr(ui)

dx

= w

(11)
ist.
Da aber die algebraische Gleichung (10) mit Adjungierung
von x, y, w irreduktibel sein sollte, so folgt nach einem bekannten,
von ABEL in der Theorie der durch Wurzelzeichen auflösbaren
algebraischen Gleichungen aufgestellten Satze, daß sämtliche
Lösungen dieser Gleichung vom x^R Grade sich in Xg Gruppen von
je X] Elementen, worin x= Xi - Xg ist, nach iterierten Funktionen
der in x, y, w, Ui rationalen Basis
KUi + ßuir (ui) = R(x,y,w,Ui)
ordnen lassen, worin für das Anfangselement einer jeden Gruppe
R*' (u) - u
ist, und R*' die Xi fach iterierte R-Funktion bedeutet.
Da nun die durch Iterierung entstehenden Lösungen der
Gleichung (10) partikuläre Integrale der Differentialgleichung
zweiter Ordnung sind, also die Form haben