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https://doi.org/10.11588/diglit.34705#0018
18 (A.6)
L. Koenigsberger:
worin und Vg in x, y, w rational ausdrückbare Funktionen
bedeuten.
Während hier bei einer Gruppe von drei Elementen die Summe
dieser gleich Null ist, wäre dies schon bei einer Periode von vier Ele-
menten im allgemeinen nicht mehr der Fall, da sonst die Summe
der Koeffizienten von u ^r (rp) verschwinden müßte, während der
zweite ß, der vierte —ß, also der dritte Null sein müßte, was im
allgemeinen nach (13) nicht der Fall ist.
Bilden allgemein die Lösungen der algebraischen Gleichung (10)
nur eine Gruppe —was, wenn der Grad x der Gleichung eine Prim-
zahl ist, stets der Fall sein wird —, so ist bekanntlich nach einem
Satze von ABEL, wenn
xui + ßuir(ui) = F(ui)
gesetzt wird, mit Hilfe der iterierten Funktionen
Ui + eh (rp) + PW3 (ui) + - - - + F*"i(ui) = ]/ v ,
worin s eine primitive x^ Einheitswurzel bedeutet, während
ip + e^h(ui) + s^fP(ui) + ... + P*"^F^*(ui) = Y^]/ v j
ist, worin und v rational von den Koeffizienten der Glei-
chung (10), also rational von x, y, w abhängen. Da aber die
linken Seiten dieser Gleichungen zugleich Integrale der Differen-
tialgleichung zweiter Ordnung sind, so wird, wie oben ausgeführt
worden, die Differentialgleichung Integrale besitzen, welche zwei
binomischen Gleichungen genügen, und daher das allgemeine
Integral die Form haben
u
O
wenn
ist, x eine positive ganze Zahl und g^, hp, R rationale Funktionen
von x und y sind.
L. Koenigsberger:
worin und Vg in x, y, w rational ausdrückbare Funktionen
bedeuten.
Während hier bei einer Gruppe von drei Elementen die Summe
dieser gleich Null ist, wäre dies schon bei einer Periode von vier Ele-
menten im allgemeinen nicht mehr der Fall, da sonst die Summe
der Koeffizienten von u ^r (rp) verschwinden müßte, während der
zweite ß, der vierte —ß, also der dritte Null sein müßte, was im
allgemeinen nach (13) nicht der Fall ist.
Bilden allgemein die Lösungen der algebraischen Gleichung (10)
nur eine Gruppe —was, wenn der Grad x der Gleichung eine Prim-
zahl ist, stets der Fall sein wird —, so ist bekanntlich nach einem
Satze von ABEL, wenn
xui + ßuir(ui) = F(ui)
gesetzt wird, mit Hilfe der iterierten Funktionen
Ui + eh (rp) + PW3 (ui) + - - - + F*"i(ui) = ]/ v ,
worin s eine primitive x^ Einheitswurzel bedeutet, während
ip + e^h(ui) + s^fP(ui) + ... + P*"^F^*(ui) = Y^]/ v j
ist, worin und v rational von den Koeffizienten der Glei-
chung (10), also rational von x, y, w abhängen. Da aber die
linken Seiten dieser Gleichungen zugleich Integrale der Differen-
tialgleichung zweiter Ordnung sind, so wird, wie oben ausgeführt
worden, die Differentialgleichung Integrale besitzen, welche zwei
binomischen Gleichungen genügen, und daher das allgemeine
Integral die Form haben
u
O
wenn
ist, x eine positive ganze Zahl und g^, hp, R rationale Funktionen
von x und y sind.