Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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L. Koenigsberger:

selben durch Wurzelzeichen auflösen; bilden sie jedoch mehrere
Gruppen und ist die Summe der Elemente einer, also jeder Gruppe,
gleich Null, so können wir dieselbe Schlußweise nicht fortsetzen
— ist dies jedoch nicht der Fall, so können wir mit der Summe der
Elemente je einer Gruppe eine neue Gleichung bilden, auf die sich
dieselbe Schlußweise anwenden läßt, bis wir zu einer Gleichung
gelangen, deren Lösungen nur eine Gruppe bilden und die somit
durch Wurzelzeichen auflösbar ist —, was jedoch im allgemeinen
nicht stattzufinden braucht, wenn die Lösungen der Gleichung (10)
mehrere Gruppen bilden und in einer der in der angegebenen
Weise reduzierten Gruppen die Summe der Elemente gleich
Null ist.
Wenn somit eine lineare homogene Differentialgleichung
zweiter Ordnung, deren Koeffizienten rationale Funktionen von
x und einer beliebigen algebraischen Funktion y von x sind,
zwei algebraische Fundamentalintegrale besitzt, welche ein und
derselben algebraischen Gleichung genügen, mit Adjungierung von


worin R (x, y) rational aus x und y zusammengesetzt ist, irreduk-
tibel ist, so wird diese Gleichung im allgemeinen -— abgesehen von
den oben bezeichncten Fällen, in denen die Summe der Elemente
in den reduzierten Gruppen verschwindet — durch Wurzelzeichen
algebraisch auflösbar sein, und somit aus den vorher entwickelten
Gründen das allgemeine Integral der Differentialgleichung in der
Form enthalten sein,


worin x = 1, 2, 3, . . . und S^, Sg rationale Funktionen von x und y
sind.
Es ist leicht ersichtlich, daß die oben ausgesprochene hin-
reichende Bedingung für die durch Wurzelzeichen mögliche alge-
braische Auflösung der Gleichung (10) auch so ausgesprochen wer-
den kann, daß, wenn d^, dg, dg, ... sämtliche Divisoren der
Zahl x — von dieser selbst abgesehen — bedeuten, keine der Sum-
men von je d^ dg, dg, . . . Lösungen der Gleichung (10) verschwinden
sollen.