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https://doi.org/10.11588/diglit.34886#0014
6 (A.l)
PAUL SlÄCKEL:
Aus dem Lehrsätze I folgt, daß für hinreichend kleine Werte
von p unter der Bedingung das Vorzeichen von z
mit dem Vorzeichen von Zg übereinstimmt. Ja noch mehr:
ForuMMgizauggn /M7?cergfe7^ z:zg, wguu p
der Cre77ze AGZZ zn^^re^, gZgicA777d/?/g gege/r d/g Lre^ze E/u^. AJithin
gibt der Inbegriff der Glieder zweiter Dimension für den betrach-
teten Bereich wirklich eine Näherung an den Verlauf der Funk-
tion z von 2 und ?/. Im allgemeinen umfaßt jedoch der angegebene
Bereich kein Gebiet, das den Anfangspunkt in seinem Innern ent-
hält, und der Lehrsatz I ermöglicht es daher nur, bei besonderen
Annahmen für die Koeffizienten Ugo, ^ Aussagen über das
Verhalten der krummen Fläche in der gesamten Umgebung des
Anfangspunktes zu machen. Wie er zu ergänzen ist, damit man
die gesamte Umgebung beherrscht, wird später gezeigt werden.
§ 3
Zwei Hilfssätze über reelle Potenzreihen
Dem Beweise des Lehrsatzes I sollen zwei Hilfssätze über
reellen Potenzreihen vorausgeschickt werden, die auch für andere
Zwecke nützlich sind.
Hilfssatz 1. JVe7772 d/g T'gg/Zg EoigTrmg/Ag
oo
E G^
x-0
/im a? = c > 0 /coacgrgzEk, gzR gR gmg po^iiicg Eo7mia7rie g COT?
dg7* Eg^cAa//gaAgii, du/? /im aüg BWig dg^ ZgiggT^ x d/g E77gZgigA-
AgdgT? , _
! G j < g - a "
g/'/üZZi ^iad.
Beweis. Aus der Voraussetzung der Konvergenz folgt, daß es,
nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Größe s, eine
positive ganze Zahl K gibt, sodaß für x > K die Ungleichheiten
! I < s
gelten. Erklärt man also die positive Größe g als die größten
unter den K+l-Größen s, ]go), [c^o], ]ggo^[, ..., 1^—1^"^], so er-
geben sich die zu beweisenden Ungleichheiten.
PAUL SlÄCKEL:
Aus dem Lehrsätze I folgt, daß für hinreichend kleine Werte
von p unter der Bedingung das Vorzeichen von z
mit dem Vorzeichen von Zg übereinstimmt. Ja noch mehr:
ForuMMgizauggn /M7?cergfe7^ z:zg, wguu p
der Cre77ze AGZZ zn^^re^, gZgicA777d/?/g gege/r d/g Lre^ze E/u^. AJithin
gibt der Inbegriff der Glieder zweiter Dimension für den betrach-
teten Bereich wirklich eine Näherung an den Verlauf der Funk-
tion z von 2 und ?/. Im allgemeinen umfaßt jedoch der angegebene
Bereich kein Gebiet, das den Anfangspunkt in seinem Innern ent-
hält, und der Lehrsatz I ermöglicht es daher nur, bei besonderen
Annahmen für die Koeffizienten Ugo, ^ Aussagen über das
Verhalten der krummen Fläche in der gesamten Umgebung des
Anfangspunktes zu machen. Wie er zu ergänzen ist, damit man
die gesamte Umgebung beherrscht, wird später gezeigt werden.
§ 3
Zwei Hilfssätze über reelle Potenzreihen
Dem Beweise des Lehrsatzes I sollen zwei Hilfssätze über
reellen Potenzreihen vorausgeschickt werden, die auch für andere
Zwecke nützlich sind.
Hilfssatz 1. JVe7772 d/g T'gg/Zg EoigTrmg/Ag
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x-0
/im a? = c > 0 /coacgrgzEk, gzR gR gmg po^iiicg Eo7mia7rie g COT?
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AgdgT? , _
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g/'/üZZi ^iad.
Beweis. Aus der Voraussetzung der Konvergenz folgt, daß es,
nach Annahme einer beliebig kleinen positiven Größe s, eine
positive ganze Zahl K gibt, sodaß für x > K die Ungleichheiten
! I < s
gelten. Erklärt man also die positive Größe g als die größten
unter den K+l-Größen s, ]go), [c^o], ]ggo^[, ..., 1^—1^"^], so er-
geben sich die zu beweisenden Ungleichheiten.