Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue Beiträge zur Flächentheorie.

(A.l) 9


denn man braucht nur, je nach dem Vorzeichen von Zg:

+ 0(p,(p) . 0^(p,(p) = h(a;,?/)

und


zu setzen.
Der Beweis läßt sich leicht so umgestalten, daß man die
Gültigkeit des Lehrsatzes I für jeden Wert pQ erkennt, der gleich-
zeitig kleiner als c und T ist. Auch bleibt das Verfahren wirksam,
wenn die Potenzreihe iß (2,?/) erst mit Gliedern za-ter Dimension
beginnt. Bezeichnet man den Inbegriff der Glieder nz-ter Dimen-
sion mit z„„ so ergibt sich die Gleichung


in der wiederum eine Konstante bezeichnet, während ) ?/)
< 1 ist.

§ 5
Anwendung auf einen elliptischen Punkt

Bei der Anwendung des Lehrsatzes I auf die Untersuchung
des Verhaltens einer krummen Fläche in der Umgebung eines
regulären Punktes hat man vor allem zu ermitteln, ob es reelle
Werte von (p gibt, für die der Ausdruck Ag(<p) verschwindet. Um
die Rechnungen zu vereinfachen, empfiehlt es sich, die Koordinaten-
achsen der a; und 7/ von vornherein so zu wählen, daß = 0
wird; die Allgemeinheit wird hierdurch nicht beschränkt. Dann
hat man bekanntlich zu ermitteln, ob das Produkt positiv,
negativ oder gleich Null ist, und unterscheidet danach die Fälle
eines eMzppyc/zen, Az/per&o^Nc/zea und para&o^NcAea PazzA^e.?.
Bei einem eMzp^NcAea PaaA% darf man annehmen, daß

0 < OgQ < a,Qg

ist. Für jeden reellen Wert von <p gilt dann die Ungleichheit
Ag^Augo- Demnach besteht der Lehrsatz I zu Recht für alle
Punkte im Innern eines Kreises, der in der a;y-Ebene mit dem