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https://doi.org/10.11588/diglit.34886#0025
Neue Beiträge zur Flächentheorie.
* (A.l) 17
verschwindet, während man doch einen alle möglichen Fälle um-
fassenden Satz über das Verhalten einer krummen Fläche in der
Umgebung eines parabolischen Punktes zu haben wünscht.
Wenn nun auch die Ergänzungssätze zu den Lehrsätzen III und
IV unter Anwendung bekannter Hilfsmittel aus der Funktionentheo-
rie in einfacherWeise bewiesen werden können, so bleibt doch die Tat-
sache bestehen, daß man in der Lehre von den krummen Flächen
bis jetzt eine solche Anwendung nicht gemacht, sondern sich mit
minderwertigen Ersatzmitteln und unvollkommener Erkenntnis des
Sachverhalts begnügt hat. Sicherlich ist der Standpunkt berech-
tigt, daß man es vermeidet, bei einer elementaren Darstellung
der Flächentheorie Sätze aus der Funktionentheorie heranzu-
ziehen. Dann aber fordert die Würde der Wissenschaft, die Lücken
in der Beweisführung offen zuzugestehen; dies wird um so weniger
Bedenken haben, als auch andere in der elementaren Kurven-
und Flächentheorie unentbehrliche Sätze Schwierigkeiten bieten,
die die Kräfte des Anfängers in d r Begel übersteigen^.
§ 9
Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz für reelle Potenzreihen von
zwei Veränderlichen
Für die Untersuchung des Verhaltens einer analytischen Funk-
tion von mehreren, im besonderen von zwei Veränderlichen in
der Umgebung einer Nullstelle gewährt der WEiERSTRAsssche For-
eine sichere GrundlegA Wenn man ihn auf die
Untersuchung des Verhaltens einer krummen Fläche in der Um-
gebung eines regulären Punktes anwenden will, so tritt allerdings
noch die Rücksicht auf die hinzu; denn es ist
hier von entscheidender Wichtigke t, ob die bei dem Satze auf-
tretende Zerlegung einer Potenzreihe in zwei Faktoren auf reelle
Art bewerkstelligt werden kann, cder nicht. Aus diesem Grunde
soll der folgende Lehrsatz bewiesen werden.
1 Vergl. meine Abhandlung: Aeürd'ge znr Arüf/t der Dd/ere/iüaZgeo-
diese Abhandlungen, Jahrgang 1914, 2. Abhandlung.
2 K. WEIERSTRASS, Afnige auf die TAeorfe der An/t/Umnen
nreArerer FerdnderücAen. si'cA &ezi'eAende ücdze, Abhandlungen aus der Funk-
tionslehre, Berlin 1886, S. 107: Mathematische Werke, Bd. II, Berlin 1895,
S.135.
Sitzungsberichte d. Heidelb. Aka.d.,ma.th.-na.turw.K!. A. 1916. l.Abh.
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verschwindet, während man doch einen alle möglichen Fälle um-
fassenden Satz über das Verhalten einer krummen Fläche in der
Umgebung eines parabolischen Punktes zu haben wünscht.
Wenn nun auch die Ergänzungssätze zu den Lehrsätzen III und
IV unter Anwendung bekannter Hilfsmittel aus der Funktionentheo-
rie in einfacherWeise bewiesen werden können, so bleibt doch die Tat-
sache bestehen, daß man in der Lehre von den krummen Flächen
bis jetzt eine solche Anwendung nicht gemacht, sondern sich mit
minderwertigen Ersatzmitteln und unvollkommener Erkenntnis des
Sachverhalts begnügt hat. Sicherlich ist der Standpunkt berech-
tigt, daß man es vermeidet, bei einer elementaren Darstellung
der Flächentheorie Sätze aus der Funktionentheorie heranzu-
ziehen. Dann aber fordert die Würde der Wissenschaft, die Lücken
in der Beweisführung offen zuzugestehen; dies wird um so weniger
Bedenken haben, als auch andere in der elementaren Kurven-
und Flächentheorie unentbehrliche Sätze Schwierigkeiten bieten,
die die Kräfte des Anfängers in d r Begel übersteigen^.
§ 9
Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz für reelle Potenzreihen von
zwei Veränderlichen
Für die Untersuchung des Verhaltens einer analytischen Funk-
tion von mehreren, im besonderen von zwei Veränderlichen in
der Umgebung einer Nullstelle gewährt der WEiERSTRAsssche For-
eine sichere GrundlegA Wenn man ihn auf die
Untersuchung des Verhaltens einer krummen Fläche in der Um-
gebung eines regulären Punktes anwenden will, so tritt allerdings
noch die Rücksicht auf die hinzu; denn es ist
hier von entscheidender Wichtigke t, ob die bei dem Satze auf-
tretende Zerlegung einer Potenzreihe in zwei Faktoren auf reelle
Art bewerkstelligt werden kann, cder nicht. Aus diesem Grunde
soll der folgende Lehrsatz bewiesen werden.
1 Vergl. meine Abhandlung: Aeürd'ge znr Arüf/t der Dd/ere/iüaZgeo-
diese Abhandlungen, Jahrgang 1914, 2. Abhandlung.
2 K. WEIERSTRASS, Afnige auf die TAeorfe der An/t/Umnen
nreArerer FerdnderücAen. si'cA &ezi'eAende ücdze, Abhandlungen aus der Funk-
tionslehre, Berlin 1886, S. 107: Mathematische Werke, Bd. II, Berlin 1895,
S.135.
Sitzungsberichte d. Heidelb. Aka.d.,ma.th.-na.turw.K!. A. 1916. l.Abh.
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