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https://doi.org/10.11588/diglit.34886#0024
16 (A.l)
PAUL STÄCKEL:
Denn unterwirft man die unendlich kleinen, von einander unab-
hängigen Größen [3? und ?/] den Bedingungen
so wird
} ^ j = ! 31^1/^ ! 2 = j ^ j 2 - P [ 2 - ' 2 < § 2 . ; ^ : 2 . § 2 ^
also ] 3F?/] unendlich klein gegen §. Wehn demnach zu ^ = 0
keine weiteren Bedingungen hinzutreten, so kann man die Fläche
in der Nähe des Nullpunktes durch die spezielle Fläche dritter
Ordnung
z - + HgoF
ersetzen."
Das im Vorstehenden auseinandergesetzte Verfahren läuft dar-
auf hinaus, daß zur Ermittelung der Wertepaare 3?, ?/, für die z
in der Nähe der Stelle p = 0, y = 0 verschwindet, der Ansatz
mit unbestimmten Koeffizienten gemacht wird:
?/ = P, p = <x F p ß F p - - - .
In der Tat geht auf diese Art die Gleichung z = 0 über in die
Gleichung
0 — C?QgF P C?gQ oFF p * * * P CfgiK F P * * * P p * * * P C^QgF P * * *,
und man gelangt, wenn %go von Null verschieden ist, zur Be-
stimmung der Kceffizienten, <x, ß, .../indem man der Reihe nach
die Koeffizienten der rechts stehenden Potenzreihe von ^ gleich
Null setzt.
Die strenge Durchführung des Ansatzes würde erfordern, daß
die Konvergenz der Potenzreihe für p nachgewiesen wird. Aber
auch dann bliebe der Ansatz mit dem Mangel behaftet, daß er
zwar eine Lösung der Gleichung z = 0 liefert, daß es aber unent-
schieden bleibt, ob diese Gleichung nicht noch andere, in der
Nähe der Stelle p = 0, ?/ = 0 gültige Lösungen besitztL Dazu
kommt, daß das Verfahren versagt, wenn der Koeffizient %go
^ Vgl. A. BRILL, Ip7paÜe77 eGer Pan/ufon co77 zeref Ip7'ä77<ie7'-
Fc/zea 777 üeT- U7?7gg&M77g einer APÜsiteHe, Sitzungsberichte der malh.-phys.
Klasse der Bayer. Akad. d. Wiss., 21, 1891, S. 207, sowie die Ausführungen
von L. BERZOLARi, PKge777e777e PAeo7*7e a^ /mPe7'e7! e&e7ze77 aige^T'aisc^eT? Aarce77,
Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Band III, Teil 2, Heft 3,
Leipzig 1906, S. 367—370.
PAUL STÄCKEL:
Denn unterwirft man die unendlich kleinen, von einander unab-
hängigen Größen [3? und ?/] den Bedingungen
so wird
} ^ j = ! 31^1/^ ! 2 = j ^ j 2 - P [ 2 - ' 2 < § 2 . ; ^ : 2 . § 2 ^
also ] 3F?/] unendlich klein gegen §. Wehn demnach zu ^ = 0
keine weiteren Bedingungen hinzutreten, so kann man die Fläche
in der Nähe des Nullpunktes durch die spezielle Fläche dritter
Ordnung
z - + HgoF
ersetzen."
Das im Vorstehenden auseinandergesetzte Verfahren läuft dar-
auf hinaus, daß zur Ermittelung der Wertepaare 3?, ?/, für die z
in der Nähe der Stelle p = 0, y = 0 verschwindet, der Ansatz
mit unbestimmten Koeffizienten gemacht wird:
?/ = P, p = <x F p ß F p - - - .
In der Tat geht auf diese Art die Gleichung z = 0 über in die
Gleichung
0 — C?QgF P C?gQ oFF p * * * P CfgiK F P * * * P p * * * P C^QgF P * * *,
und man gelangt, wenn %go von Null verschieden ist, zur Be-
stimmung der Kceffizienten, <x, ß, .../indem man der Reihe nach
die Koeffizienten der rechts stehenden Potenzreihe von ^ gleich
Null setzt.
Die strenge Durchführung des Ansatzes würde erfordern, daß
die Konvergenz der Potenzreihe für p nachgewiesen wird. Aber
auch dann bliebe der Ansatz mit dem Mangel behaftet, daß er
zwar eine Lösung der Gleichung z = 0 liefert, daß es aber unent-
schieden bleibt, ob diese Gleichung nicht noch andere, in der
Nähe der Stelle p = 0, ?/ = 0 gültige Lösungen besitztL Dazu
kommt, daß das Verfahren versagt, wenn der Koeffizient %go
^ Vgl. A. BRILL, Ip7paÜe77 eGer Pan/ufon co77 zeref Ip7'ä77<ie7'-
Fc/zea 777 üeT- U7?7gg&M77g einer APÜsiteHe, Sitzungsberichte der malh.-phys.
Klasse der Bayer. Akad. d. Wiss., 21, 1891, S. 207, sowie die Ausführungen
von L. BERZOLARi, PKge777e777e PAeo7*7e a^ /mPe7'e7! e&e7ze77 aige^T'aisc^eT? Aarce77,
Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Band III, Teil 2, Heft 3,
Leipzig 1906, S. 367—370.