Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Neue Beiträge zur Flächentheorie.

(A. 1) 27

ZM7% 7F zu beweisen, in dem behauptet wird, daß
auf jedem der beiden Kreisbogen (I) und (II) des § 7 entweder
keine Nullstelle von z liegt oder eine Nullstelle ohne Zeichen-
wechsel oder zwei Nullstellen mit Zeichenwechsel.
Der zweite bezieht sich auf die
Frage, m welchen Verbindungen die drei für jeden der beiden
Kreisbogen geltenden Möglichkeiten wirklich auftreten. Um dies
zu ermitteln, hat man die beiden Ausdrücke
y = — V^A^-t—) + V]/ (AW——4(Z?2;ß+
nach steigenden, ganzen oder gebrochenen Potenzen von a? zu ent-
wickeln. Dabei ist zu unterscheiden, ob 2a < ß, 2a > ß, 2a = ß ist.
I. Für 2a < ß wird
?/i = — AF* -]— , = UaA+Y -j— ,
wo U eine reelle Konstante bezeichnet und die ganze Zahl y A 1 ist.
Man erhält daher auf jedem der beiden Kreisbogen je zwei Null-
stellen mit Zeichenwechsel.
II. Ist 2a > ß, so gibt es zwei Plnterfälle, je nachdem ß grade
oder ungrade ist:
a) Ist ß grade, so erhält man auf jedem der beiden Kreis-
bogen keine oder zwei Nullstellen, je nachdem 7? positiv oder
negativ ist.
b) Ist ß ungrade, so muß, damit ?/ reell ausfällt, % das ent-
gegengesetzte Vorzeichen wie 7? haben. Mithin erhält man auf
dem einen Kreisbogen keine, auf dem andern zwei Nullstellen.
Die Schnittkurve der Fläche mit der berührenden Ebene hat in
diesem Falle eine Spitze erster Art.
III. Ist 2a = ß, so kommt es auf den Ausdruck A^—47? an,
der positiv, negativ oder Null sein kann.
a) Für A^—47? hegen auf jedem der beiden Kreisbogen je
zwei Nullstellen.
b) Für A^—47? < 0 liegt auf keinem der beiden Kreisbogen
eine Nullstelle.
c) Für A^—47? = 0 hat man zu untersuchen, ob bei ?/ der Aus-
druck unter dem Wurzelzeichen identisch verschwindet oder nicht.
Im ersten Fall erhält man auf jedem der beiden Kreisbogen eine