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https://doi.org/10.11588/diglit.34886#0039
Neue Beiträge zur Flächentheorie.
(A.1) 31
leicht acht Gleichungen mit acht Unbekannten. Die Formeln
sind jedoch so verwickelt, daß, wie es scheint, ihre Untersuchung
bis jetzt nicht durchgeführt worden ist. Bei Einführung geeigneter
Hilfsgrößen lassen sich jedoch die Schwierigkeiten überwinden.
Die DtAaag erAaP baaa efae .su üAeasYcAPfcAe Forat, bcty drdie
Fer/aArea aa Ffa/acAAeF Aia^er dea ^eidea e/^ea aicAi zaräcA^eAi.
Ja es verdient vielleicht vor diesen insofern den Vorzug, als es
in engster Beziehung zu den Kegelschnitten steht, die aus der
Gleichung (3) als Näherungen für die Schnitte der krummen
Fläche mit Ebenen parallel der berührenden Ebene in P erhalten
werden, und so eine einheitliche Behandlung der Krümmungs-
eigenschaften erzielt wird, deren Mittelpunkt die GAUSS sehe
Form (3) der Flächengleichung bildeth
3
Aufstellung der Bedingungsgleichungen
Aus der Gleichung 3 =/(%,?/) folgt für die Umgebung eines
regulären Flächenpunktes P die Entwicklung
(5) F-z-p(F-a) + ^(y-t/)+Fr(F-^+^(F-a;)
während die Gleichung (3) die Entwicklung liefert
Beide müssen ineinander übergehen vermöge einer orthogonalen
Substitution
^ = Kl(P-;x) + ßi(?/-y) + Yl(^-2),
7] = ^(F-a) + ßs (?/'-?/) + Y2(3-3)'
^ = V (F—a) + y (?/—?/) + z (2'—3).
(s)
* Daß die Entwicklung (3) der Koordinate nach Potenzen von ^
und 7) wirklich durch den Inbegriff der Glieder zweiter Ordnung angenähert
wird, bedarf eines Beweises. Wie dieser geführt werden kann, ist in der
vorhergehenden Abhandlung gezeigt worden. Es geht daraus hervor, daß die
hier gegebene Herleitung nur für elliptische und hyperbolische Punkte der
Fläche gilt; dies ist kein Mangel, weil die parabolischen Punkte von vorn-
herein einer besonderen Untersuchung bedürfen.
(A.1) 31
leicht acht Gleichungen mit acht Unbekannten. Die Formeln
sind jedoch so verwickelt, daß, wie es scheint, ihre Untersuchung
bis jetzt nicht durchgeführt worden ist. Bei Einführung geeigneter
Hilfsgrößen lassen sich jedoch die Schwierigkeiten überwinden.
Die DtAaag erAaP baaa efae .su üAeasYcAPfcAe Forat, bcty drdie
Fer/aArea aa Ffa/acAAeF Aia^er dea ^eidea e/^ea aicAi zaräcA^eAi.
Ja es verdient vielleicht vor diesen insofern den Vorzug, als es
in engster Beziehung zu den Kegelschnitten steht, die aus der
Gleichung (3) als Näherungen für die Schnitte der krummen
Fläche mit Ebenen parallel der berührenden Ebene in P erhalten
werden, und so eine einheitliche Behandlung der Krümmungs-
eigenschaften erzielt wird, deren Mittelpunkt die GAUSS sehe
Form (3) der Flächengleichung bildeth
3
Aufstellung der Bedingungsgleichungen
Aus der Gleichung 3 =/(%,?/) folgt für die Umgebung eines
regulären Flächenpunktes P die Entwicklung
(5) F-z-p(F-a) + ^(y-t/)+Fr(F-^+^(F-a;)
während die Gleichung (3) die Entwicklung liefert
Beide müssen ineinander übergehen vermöge einer orthogonalen
Substitution
^ = Kl(P-;x) + ßi(?/-y) + Yl(^-2),
7] = ^(F-a) + ßs (?/'-?/) + Y2(3-3)'
^ = V (F—a) + y (?/—?/) + z (2'—3).
(s)
* Daß die Entwicklung (3) der Koordinate nach Potenzen von ^
und 7) wirklich durch den Inbegriff der Glieder zweiter Ordnung angenähert
wird, bedarf eines Beweises. Wie dieser geführt werden kann, ist in der
vorhergehenden Abhandlung gezeigt worden. Es geht daraus hervor, daß die
hier gegebene Herleitung nur für elliptische und hyperbolische Punkte der
Fläche gilt; dies ist kein Mangel, weil die parabolischen Punkte von vorn-
herein einer besonderen Untersuchung bedürfen.