Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

8 (A. 5)

L. KOENIGSBERGER:

p = <p;r f, <y<-"+—' q, r,+?,f,) Q"-'-" +...
+ (^n-v f. + T. X,-,-t fl + TÜ ",-<1-2 fz + " ' + TS"" f,-s.) Q
+ H,y'^" + H,y<"-s' + ... + H,,_,y ,
worin die Funktionen cp, x, eo,... H ganze Funktionen von x sind.
Substituiert man hierin das den beiden Gleichungen P = 0
und Q=0 der Voraussetzung nach gemeinsame Integral y^, so müßte
H.yr" + H,yr" + ... + H^,y, = 0
sein, und da dasselbe der Annahme nach nicht schon einer gleich-
artigen linearen Differentialgleichung von niederer Ordnung als
der 0^ genügen sollte,
H. = 0, H, = 0,...H,,_i = 0,
so daß sich die für jede Funktion y von x identische Darstellung
von P durch die Ableitungen von Q in der Form ergibt
(ii) ?r"*' p=Tr" f.Q'°^'+Af.+*p.fi)Q'"-''-"
+ ?o ^ ('^2 + ?o Xi ii + ?o iß) -l-
+ (^n—v io + ?0 Xn—v—1 il + ?0 o—2 ^ ^-^ ?0 ^ 4—o) Q i
aus welcher ersichtlich ist, daß alle Integrale der Differential-
gleichung Q = 0 auch Integrale der Differentialgleichung P=0 sein
werden.
Es ist jedoch zu bemerken, daß, während oben für die alge-
braische Gleichung Q = 0 die Definitionen der Irreduktibilität,
keine Lösung mit einer gleichartigen Gleichung niederen Grades
gemein zu haben, oder mindestens eine Lösung zu besitzen, welche
nicht schon einer gleichartigen Gleichung niederen Grades genügt,
einander äquivalent sind, diese Äquivalenz für lineare Differential-
gleichungen nicht besteht. Es kann nämlich der Bedingung
unterliegen, nicht einer gleichartigen linearen Differentialgleichung
niederer Ordnung als der zu genügen, während dies für andere
Integrale dieser Differentialgleichung wohl der Fall sein kann.
Nennt man eine lineare Differentialgleichung irreduktibel, wenn