Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Um das EiSENSTEiNsche Kriterium für die Irreduktibilität
algebraischer Gleichungen auf Funktionalgleichungen auszudeh-
nen, und für letztere eine Reihe anderer Kriterien zu entwickeln,
die sich wieder auf numerische Gleichungen übertragen ließen,
brauchte man nur die für algebraische Funktionen unmittel-
bar ersichtliche Erweiterung des GAUss sehen Satzes zugrunde zu
legen, daß, wenn ein ganzzahliges Polynom in zwei rationalzahlige
Polynome zerlegbar ist, auch eine Zerlegung in zwei ganzzahlige
Polynome existiert*. Will man jedoch die analogen Untersuchun-
gen zur Gewinnung von Irreduktibilitätskriterien für lineare homo-
gene Differentialgleichungen durchführen, so muß zunächst der
GAUss sehe Satz in etwas veränderter Form, ausgesprochen und
bewiesen werden.
Sei eine algebraische Funktionalgleichung gegeben
(1) P = f.y°+f,y°"*+... + f,_,y+f, = o,
in welcher fg, f^, ... f„ ganze Funktionen von x sind, und genüge
eine Lösung yi derselben einer gleichartigen Gleichung niederen
Grades
(2) Q = ?oy^ + uy''-' + - - - + ?„-iy + ^ = o,
aber keiner ebensolchen Gleichung von noch niedrigerem Grade
als dem die Gleichung (2) ist dann eine mit Adj ungierung
rationaler Funktionen von x irreduktible, da für algebraische Funk-
tionen die Definition der Irreduktibilität, keine Lösung mit einer
gleichartigen Gleichung niederen Grades gemein zu haben, mit
der, daß eine Lösung derselben nicht einer Gleichung niederen
* Vergl. meine Arbeiten: ,,Über den EiSENSTEiNSchen Satz von der Irre-
duktibilität algebraischer Gleichungen" (Journ. f. Mathematik. Bd. 115) und
,,Über die Entwicklungsform der algebraischen Funktionen und die Irreduk-
tibilität algebraischer Gleichungen" (Journ. f. Mathematik. Bd. 121).