Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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L. KüENIGSBERGER:

ganze Funktionen von x sind, ist z.B. schon aus den Gleichungen
(12) und (13) ersichtlich, für welche nach (11)
(2x-l)2 P - (2x-l) (4x'-2x + 2)Q'- [(2x-l) (8x^+ 10x)
-(4x'-l)(4x'-2x+2)]Q
ist, woraus sich nur
(2x—1)P = (4x^—2x + 2)Q' — [8x3+10x—(2x+l) (4x^—2x+2)]Q,
aber nicht eine Darstellung von P selbst mit in x ganzen Koeffi-
zienten ergibt.
Um nun die Untersuchung allgemein durchzuführen, wann
sich aus (11) eine analoge Darstellung für P selbst ergeben wird,
wollen wir eine Hilfsbemerkung vorausschicken und dann zunächst
die Untersuchungsmethode selbst an der Zusammenstellung einer
linearen Differentialgleichung dritter Ordnung mit einer irreduk-
tibeln Differentialgleichung zweiter Ordnung erläutern.
Es ist leicht zu sehen, daß, wenn in der durch dividier-
ten Gleichung (11) die Koeffizienten von Q(R—v—^ Q'
ganze Funktionen von x sind, auch der von Q diese Eigenschaft
haben wird. Denn, wenn sich aus
P = G.(x)Q"-"+G,(x)Q<"-''-" +... + G„_^,(x)Q'+G,^(x)Q
durch Division mit
p = g.(x) Q"-'"+g, (x) Q"-"-"+-" + g.-,-, (x) Q'+Q
ergibt, worin g^(x),g^x), ...g„^__i(x) ganze Funktionen von x
sind, so müssen in dieser identischen Gleichung auch die Koeffi-
zienten von y^, ...y',y in dem Ausdruck

dieselbe Eigenschaft haben, und da zunächst der Koeffizient von y^